Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29577 / 22429
↖ ↑ ↗
← N 49.278556°
W 17.528686°		 ← 398.47 m → N 49.278556°
W 17.523193°		 →
↑
398.44 m
↓
↑
398.44 m
↓
N 49.274973°
W 17.528686°		 ← 398.50 m →
158 772 m²		 N 49.274973°
W 17.523193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29577 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451316833496094 y=0.342247009277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451316833496094 × 216)
    floor (0.451316833496094 × 65536)
    floor (29577.5)     		tx = 29577
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342247009277344 × 216)
    floor (0.342247009277344 × 65536)
    floor (22429.5)     		ty = 22429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29577 / 22429 ti = "16/29577/22429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29577/22429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29577 ÷ 216
    29577 ÷ 65536     		x = 0.451309204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22429 ÷ 216
    22429 ÷ 65536     		y = 0.342239379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451309204101562 × 2 - 1) × π
    -0.097381591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30593329
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.342239379882812 × 2 - 1) × π
    0.315521240234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.991239210343521
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30593329} λ = -0.30593329}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991239210343521))-π/2
    2×atan(2.69457154518478)-π/2
    2×1.21543469545793-π/2
    2.43086939091587-1.57079632675     		φ = 0.86007306
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30593329} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.528686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86007306 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.278556°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29577 KachelY 22429 -0.30593329 0.86007306 -17.528686 49.278556
    Oben rechts KachelX + 1 29578 KachelY 22429 -0.30583742 0.86007306 -17.523193 49.278556
    Unten links KachelX 29577 KachelY + 1 22430 -0.30593329 0.86001052 -17.528686 49.274973
    Unten rechts KachelX + 1 29578 KachelY + 1 22430 -0.30583742 0.86001052 -17.523193 49.274973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86007306-0.86001052) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dl = 398.442339999645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86007306-0.86001052) × R
    6.25399999999443e-05 × 6371000     		dr = 398.442339999645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30593329--0.30583742) × cos(0.86007306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		do = 398.467007097242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30593329--0.30583742) × cos(0.86001052) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.652429495624188 × 6371000     		du = 398.495956714514m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86007306)-sin(0.86001052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652382098445178-0.652429495624188)×R²
    abs(-0.30583742--0.30593329)×4.73971790100336e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73971790100336e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73971790100336e-05×40589641000000     		ar = 158771.894148733m²