Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29576 / 42719
↖ ↑ ↗
← S 47.868459°
W 17.534180°		 ← 409.78 m → S 47.868459°
W 17.528686°		 →
↑
409.72 m
↓
↑
409.72 m
↓
S 47.872144°
W 17.534180°		 ← 409.75 m →
167 889 m²		 S 47.872144°
W 17.528686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451301574707031 y=0.651847839355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451301574707031 × 216)
    floor (0.451301574707031 × 65536)
    floor (29576.5)     		tx = 29576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651847839355469 × 216)
    floor (0.651847839355469 × 65536)
    floor (42719.5)     		ty = 42719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29576 / 42719 ti = "16/29576/42719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29576/42719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29576 ÷ 216
    29576 ÷ 65536     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42719 ÷ 216
    42719 ÷ 65536     		y = 0.651840209960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651840209960938 × 2 - 1) × π
    -0.303680419921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.954040176238358
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.954040176238358))-π/2
    2×atan(0.385181673706151)-π/2
    2×0.367667053889068-π/2
    0.735334107778135-1.57079632675     		φ = -0.83546222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83546222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.868459°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29576 KachelY 42719 -0.30602917 -0.83546222 -17.534180 -47.868459
    Oben rechts KachelX + 1 29577 KachelY 42719 -0.30593329 -0.83546222 -17.528686 -47.868459
    Unten links KachelX 29576 KachelY + 1 42720 -0.30602917 -0.83552653 -17.534180 -47.872144
    Unten rechts KachelX + 1 29577 KachelY + 1 42720 -0.30593329 -0.83552653 -17.528686 -47.872144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83546222--0.83552653) × R
    6.43099999999563e-05 × 6371000     		dl = 409.719009999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83546222--0.83552653) × R
    6.43099999999563e-05 × 6371000     		dr = 409.719009999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30593329) × cos(-0.83546222) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670834968900734 × 6371000     		do = 409.780533588736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30593329) × cos(-0.83552653) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.670787274788976 × 6371000     		du = 409.751399569981m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83546222)-sin(-0.83552653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.670834968900734-0.670787274788976)×R²
    abs(-0.30593329--0.30602917)×4.76941117584229e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76941117584229e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76941117584229e-05×40589641000000     		ar = 167888.906216666m²