Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29576 / 22428
↖ ↑ ↗
← N 49.282140°
W 17.534180°		 ← 398.48 m → N 49.282140°
W 17.528686°		 →
↑
398.51 m
↓
↑
398.51 m
↓
N 49.278556°
W 17.534180°		 ← 398.51 m →
158 802 m²		 N 49.278556°
W 17.528686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451301574707031 y=0.342231750488281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451301574707031 × 216)
    floor (0.451301574707031 × 65536)
    floor (29576.5)     		tx = 29576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.342231750488281 × 216)
    floor (0.342231750488281 × 65536)
    floor (22428.5)     		ty = 22428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29576 / 22428 ti = "16/29576/22428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29576/22428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29576 ÷ 216
    29576 ÷ 65536     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22428 ÷ 216
    22428 ÷ 65536     		y = 0.34222412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34222412109375 × 2 - 1) × π
    0.3155517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.991335084142761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.991335084142761))-π/2
    2×atan(2.6948298963805)-π/2
    2×1.21546596749677-π/2
    2.43093193499355-1.57079632675     		φ = 0.86013561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86013561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.282140°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29576 KachelY 22428 -0.30602917 0.86013561 -17.534180 49.282140
    Oben rechts KachelX + 1 29577 KachelY 22428 -0.30593329 0.86013561 -17.528686 49.282140
    Unten links KachelX 29576 KachelY + 1 22429 -0.30602917 0.86007306 -17.534180 49.278556
    Unten rechts KachelX + 1 29577 KachelY + 1 22429 -0.30593329 0.86007306 -17.528686 49.278556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86013561-0.86007306) × R
    6.25500000001056e-05 × 6371000     		dl = 398.506050000673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86013561-0.86007306) × R
    6.25500000001056e-05 × 6371000     		dr = 398.506050000673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30593329) × cos(0.86013561) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652334691135227 × 6371000     		do = 398.479611535265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30593329) × cos(0.86007306) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.652382098445178 × 6371000     		du = 398.508570360712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86013561)-sin(0.86007306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.652334691135227-0.652382098445178)×R²
    abs(-0.30593329--0.30602917)×4.74073099510086e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.74073099510086e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.74073099510086e-05×40589641000000     		ar = 158802.306184082m²