Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29576 / 17753
↖ ↑ ↗
← N 63.329948°
W 17.534180°		 ← 274.18 m → N 63.329948°
W 17.528686°		 →
↑
274.21 m
↓
↑
274.21 m
↓
N 63.327482°
W 17.534180°		 ← 274.21 m →
75 186 m²		 N 63.327482°
W 17.528686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29576 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17753 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451301574707031 y=0.270896911621094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451301574707031 × 216)
    floor (0.451301574707031 × 65536)
    floor (29576.5)     		tx = 29576
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270896911621094 × 216)
    floor (0.270896911621094 × 65536)
    floor (17753.5)     		ty = 17753
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29576 / 17753 ti = "16/29576/17753"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29576/17753.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29576 ÷ 216
    29576 ÷ 65536     		x = 0.4512939453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17753 ÷ 216
    17753 ÷ 65536     		y = 0.270889282226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4512939453125 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30602917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270889282226562 × 2 - 1) × π
    0.458221435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43954509559029
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30602917} λ = -0.30602917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43954509559029))-π/2
    2×atan(4.21877624050235)-π/2
    2×1.33805621096278-π/2
    2.67611242192556-1.57079632675     		φ = 1.10531610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30602917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.534180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10531610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.329948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29576 KachelY 17753 -0.30602917 1.10531610 -17.534180 63.329948
    Oben rechts KachelX + 1 29577 KachelY 17753 -0.30593329 1.10531610 -17.528686 63.329948
    Unten links KachelX 29576 KachelY + 1 17754 -0.30602917 1.10527306 -17.534180 63.327482
    Unten rechts KachelX + 1 29577 KachelY + 1 17754 -0.30593329 1.10527306 -17.528686 63.327482
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10531610-1.10527306) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dl = 274.207839999963m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10531610-1.10527306) × R
    4.30399999999942e-05 × 6371000     		dr = 274.207839999963m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30602917--0.30593329) × cos(1.10531610) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.448851986787664 × 6371000     		do = 274.181900430164m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30602917--0.30593329) × cos(1.10527306) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44889044717923 × 6371000     		du = 274.205394017274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10531610)-sin(1.10527306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.448851986787664-0.44889044717923)×R²
    abs(-0.30593329--0.30602917)×3.84603915666859e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84603915666859e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84603915666859e-05×40589641000000     		ar = 75186.0477584193m²