Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29575 / 42819
↖ ↑ ↗
← S 48.235650°
W 17.539673°		 ← 406.83 m → S 48.235650°
W 17.534180°		 →
↑
406.85 m
↓
↑
406.85 m
↓
S 48.239309°
W 17.539673°		 ← 406.80 m →
165 512 m²		 S 48.239309°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451286315917969 y=0.653373718261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451286315917969 × 216)
    floor (0.451286315917969 × 65536)
    floor (29575.5)     		tx = 29575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653373718261719 × 216)
    floor (0.653373718261719 × 65536)
    floor (42819.5)     		ty = 42819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29575 / 42819 ti = "16/29575/42819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29575/42819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29575 ÷ 216
    29575 ÷ 65536     		x = 0.451278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42819 ÷ 216
    42819 ÷ 65536     		y = 0.653366088867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451278686523438 × 2 - 1) × π
    -0.097442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30612504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653366088867188 × 2 - 1) × π
    -0.306732177734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.963627556162369
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30612504} λ = -0.30612504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963627556162369))-π/2
    2×atan(0.381506436758641)-π/2
    2×0.364462706140179-π/2
    0.728925412280358-1.57079632675     		φ = -0.84187091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30612504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.539673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84187091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.235650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29575 KachelY 42819 -0.30612504 -0.84187091 -17.539673 -48.235650
    Oben rechts KachelX + 1 29576 KachelY 42819 -0.30602917 -0.84187091 -17.534180 -48.235650
    Unten links KachelX 29575 KachelY + 1 42820 -0.30612504 -0.84193477 -17.539673 -48.239309
    Unten rechts KachelX + 1 29576 KachelY + 1 42820 -0.30602917 -0.84193477 -17.534180 -48.239309
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84187091--0.84193477) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dl = 406.85206000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84187091--0.84193477) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dr = 406.85206000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30612504--0.30602917) × cos(-0.84187091) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666068498233336 × 6371000     		do = 406.826492703179m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30612504--0.30602917) × cos(-0.84193477) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666020864302854 × 6371000     		du = 406.797398481004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84187091)-sin(-0.84193477))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666068498233336-0.666020864302854)×R²
    abs(-0.30602917--0.30612504)×4.76339304817941e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76339304817941e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76339304817941e-05×40589641000000     		ar = 165512.278153105m²