Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29575 / 42817
↖ ↑ ↗
← S 48.228332°
W 17.539673°		 ← 406.88 m → S 48.228332°
W 17.534180°		 →
↑
406.85 m
↓
↑
406.85 m
↓
S 48.231991°
W 17.539673°		 ← 406.86 m →
165 536 m²		 S 48.231991°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451286315917969 y=0.653343200683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451286315917969 × 216)
    floor (0.451286315917969 × 65536)
    floor (29575.5)     		tx = 29575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653343200683594 × 216)
    floor (0.653343200683594 × 65536)
    floor (42817.5)     		ty = 42817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29575 / 42817 ti = "16/29575/42817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29575/42817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29575 ÷ 216
    29575 ÷ 65536     		x = 0.451278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42817 ÷ 216
    42817 ÷ 65536     		y = 0.653335571289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451278686523438 × 2 - 1) × π
    -0.097442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30612504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653335571289062 × 2 - 1) × π
    -0.306671142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.963435808563889
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30612504} λ = -0.30612504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963435808563889))-π/2
    2×atan(0.381579596715593)-π/2
    2×0.36452656922399-π/2
    0.72905313844798-1.57079632675     		φ = -0.84174319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30612504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.539673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84174319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.228332°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29575 KachelY 42817 -0.30612504 -0.84174319 -17.539673 -48.228332
    Oben rechts KachelX + 1 29576 KachelY 42817 -0.30602917 -0.84174319 -17.534180 -48.228332
    Unten links KachelX 29575 KachelY + 1 42818 -0.30612504 -0.84180705 -17.539673 -48.231991
    Unten rechts KachelX + 1 29576 KachelY + 1 42818 -0.30602917 -0.84180705 -17.534180 -48.231991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84174319--0.84180705) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dl = 406.85206000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84174319--0.84180705) × R
    6.38600000000267e-05 × 6371000     		dr = 406.85206000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30612504--0.30602917) × cos(-0.84174319) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666163757945224 × 6371000     		do = 406.884676170174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30612504--0.30602917) × cos(-0.84180705) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.666116129447524 × 6371000     		du = 406.855585266276m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84174319)-sin(-0.84180705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666163757945224-0.666116129447524)×R²
    abs(-0.30602917--0.30612504)×4.76284977001251e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76284977001251e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76284977001251e-05×40589641000000     		ar = 165535.950891362m²