Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29575 / 19853
↖ ↑ ↗
← N 57.665973°
W 17.539673°		 ← 326.68 m → N 57.665973°
W 17.534180°		 →
↑
326.70 m
↓
↑
326.70 m
↓
N 57.663035°
W 17.539673°		 ← 326.71 m →
106 733 m²		 N 57.663035°
W 17.534180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29575 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451286315917969 y=0.302940368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451286315917969 × 216)
    floor (0.451286315917969 × 65536)
    floor (29575.5)     		tx = 29575
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302940368652344 × 216)
    floor (0.302940368652344 × 65536)
    floor (19853.5)     		ty = 19853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29575 / 19853 ti = "16/29575/19853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29575/19853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29575 ÷ 216
    29575 ÷ 65536     		x = 0.451278686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19853 ÷ 216
    19853 ÷ 65536     		y = 0.302932739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451278686523438 × 2 - 1) × π
    -0.097442626953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30612504
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302932739257812 × 2 - 1) × π
    0.394134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.23821011718605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30612504} λ = -0.30612504}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23821011718605))-π/2
    2×atan(3.4494338536501)-π/2
    2×1.28862870919845-π/2
    2.57725741839689-1.57079632675     		φ = 1.00646109
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30612504} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.539673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00646109 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.665973°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29575 KachelY 19853 -0.30612504 1.00646109 -17.539673 57.665973
    Oben rechts KachelX + 1 29576 KachelY 19853 -0.30602917 1.00646109 -17.534180 57.665973
    Unten links KachelX 29575 KachelY + 1 19854 -0.30612504 1.00640981 -17.539673 57.663035
    Unten rechts KachelX + 1 29576 KachelY + 1 19854 -0.30602917 1.00640981 -17.534180 57.663035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00646109-1.00640981) × R
    5.12799999998759e-05 × 6371000     		dl = 326.704879999209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00646109-1.00640981) × R
    5.12799999998759e-05 × 6371000     		dr = 326.704879999209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30612504--0.30602917) × cos(1.00646109) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534854246324695 × 6371000     		do = 326.682432387684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30612504--0.30602917) × cos(1.00640981) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534897574367118 × 6371000     		du = 326.708896626094m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00646109)-sin(1.00640981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534854246324695-0.534897574367118)×R²
    abs(-0.30602917--0.30612504)×4.33280424233518e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33280424233518e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33280424233518e-05×40589641000000     		ar = 106733.067892284m²