Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29573 / 42710
↖ ↑ ↗
← S 47.835283°
W 17.550659°		 ← 410.04 m → S 47.835283°
W 17.545166°		 →
↑
410.04 m
↓
↑
410.04 m
↓
S 47.838971°
W 17.550659°		 ← 410.01 m →
168 127 m²		 S 47.838971°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451255798339844 y=0.651710510253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451255798339844 × 216)
    floor (0.451255798339844 × 65536)
    floor (29573.5)     		tx = 29573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651710510253906 × 216)
    floor (0.651710510253906 × 65536)
    floor (42710.5)     		ty = 42710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29573 / 42710 ti = "16/29573/42710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29573/42710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29573 ÷ 216
    29573 ÷ 65536     		x = 0.451248168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42710 ÷ 216
    42710 ÷ 65536     		y = 0.651702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451248168945312 × 2 - 1) × π
    -0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651702880859375 × 2 - 1) × π
    -0.30340576171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953177312045197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30631679} λ = -0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953177312045197))-π/2
    2×atan(0.385514176612049)-π/2
    2×0.367956566230744-π/2
    0.735913132461488-1.57079632675     		φ = -0.83488319
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83488319 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.835283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29573 KachelY 42710 -0.30631679 -0.83488319 -17.550659 -47.835283
    Oben rechts KachelX + 1 29574 KachelY 42710 -0.30622091 -0.83488319 -17.545166 -47.835283
    Unten links KachelX 29573 KachelY + 1 42711 -0.30631679 -0.83494755 -17.550659 -47.838971
    Unten rechts KachelX + 1 29574 KachelY + 1 42711 -0.30622091 -0.83494755 -17.545166 -47.838971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83488319--0.83494755) × R
    6.43599999999855e-05 × 6371000     		dl = 410.037559999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83488319--0.83494755) × R
    6.43599999999855e-05 × 6371000     		dr = 410.037559999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(-0.83488319) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671264268926213 × 6371000     		do = 410.042772144664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(-0.83494755) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.671216562738659 × 6371000     		du = 410.013630749391m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83488319)-sin(-0.83494755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671264268926213-0.671216562738659)×R²
    abs(-0.30622091--0.30631679)×4.77061875540086e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.77061875540086e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.77061875540086e-05×40589641000000     		ar = 168126.9633106m²