Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29573 / 30011
↖ ↑ ↗
← S 81.613344°
E144.898682°		 ← 178.17 m → S 81.613344°
E144.909668°		 →
↑
178.13 m
↓
↑
178.13 m
↓
S 81.614946°
E144.898682°		 ← 178.14 m →
31 735 m²		 S 81.614946°
E144.909668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902511596679688 y=0.915878295898438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902511596679688 × 215)
    floor (0.902511596679688 × 32768)
    floor (29573.5)     		tx = 29573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915878295898438 × 215)
    floor (0.915878295898438 × 32768)
    floor (30011.5)     		ty = 30011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29573 / 30011 ti = "15/29573/30011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29573/30011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29573 ÷ 215
    29573 ÷ 32768     		x = 0.902496337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30011 ÷ 215
    30011 ÷ 32768     		y = 0.915863037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902496337890625 × 2 - 1) × π
    0.80499267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.52895908
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915863037109375 × 2 - 1) × π
    -0.83172607421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.61294452449002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52895908} λ = 2.52895908}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.61294452449002))-π/2
    2×atan(0.0733183379659292)-π/2
    2×0.07318738391458-π/2
    0.14637476782916-1.57079632675     		φ = -1.42442156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52895908} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.898682°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42442156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.613344°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29573 KachelY 30011 2.52895908 -1.42442156 144.898682 -81.613344
    Oben rechts KachelX + 1 29574 KachelY 30011 2.52915082 -1.42442156 144.909668 -81.613344
    Unten links KachelX 29573 KachelY + 1 30012 2.52895908 -1.42444952 144.898682 -81.614946
    Unten rechts KachelX + 1 29574 KachelY + 1 30012 2.52915082 -1.42444952 144.909668 -81.614946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42442156--1.42444952) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dl = 178.133159999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42442156--1.42444952) × R
    2.7959999999938e-05 × 6371000     		dr = 178.133159999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52895908-2.52915082) × cos(-1.42442156) × R
    0.000191739999999996 × 0.145852632600621 × 6371000     		do = 178.170008429521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52895908-2.52915082) × cos(-1.42444952) × R
    0.000191739999999996 × 0.145824971538697 × 6371000     		du = 178.136218352865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42442156)-sin(-1.42444952))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.145852632600621-0.145824971538697)×R²
    abs(2.52915082-2.52895908)×2.76610619232565e-05×R²
    0.000191739999999996×2.76610619232565e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.76610619232565e-05×40589641000000     		ar = 31734.977054092m²