Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29573 / 22694
↖ ↑ ↗
← N 48.319734°
W 17.550659°		 ← 406.20 m → N 48.319734°
W 17.545166°		 →
↑
406.15 m
↓
↑
406.15 m
↓
N 48.316081°
W 17.550659°		 ← 406.23 m →
164 984 m²		 N 48.316081°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22694 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451255798339844 y=0.346290588378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451255798339844 × 216)
    floor (0.451255798339844 × 65536)
    floor (29573.5)     		tx = 29573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346290588378906 × 216)
    floor (0.346290588378906 × 65536)
    floor (22694.5)     		ty = 22694
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29573 / 22694 ti = "16/29573/22694"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29573/22694.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29573 ÷ 216
    29573 ÷ 65536     		x = 0.451248168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22694 ÷ 216
    22694 ÷ 65536     		y = 0.346282958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451248168945312 × 2 - 1) × π
    -0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346282958984375 × 2 - 1) × π
    0.30743408203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.965832653544891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30631679} λ = -0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965832653544891))-π/2
    2×atan(2.62697410537221)-π/2
    2×1.20706738973538-π/2
    2.41413477947075-1.57079632675     		φ = 0.84333845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84333845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.319734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29573 KachelY 22694 -0.30631679 0.84333845 -17.550659 48.319734
    Oben rechts KachelX + 1 29574 KachelY 22694 -0.30622091 0.84333845 -17.545166 48.319734
    Unten links KachelX 29573 KachelY + 1 22695 -0.30631679 0.84327470 -17.550659 48.316081
    Unten rechts KachelX + 1 29574 KachelY + 1 22695 -0.30622091 0.84327470 -17.545166 48.316081
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84333845-0.84327470) × R
    6.3749999999918e-05 × 6371000     		dl = 406.151249999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84333845-0.84327470) × R
    6.3749999999918e-05 × 6371000     		dr = 406.151249999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(0.84333845) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.664973157119159 × 6371000     		do = 406.199837186479m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(0.84327470) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665020768555545 × 6371000     		du = 406.228920702861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84333845)-sin(0.84327470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664973157119159-0.665020768555545)×R²
    abs(-0.30622091--0.30631679)×4.7611436386541e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7611436386541e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7611436386541e-05×40589641000000     		ar = 164984.477832221m²