Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29573 / 22405
↖ ↑ ↗
← N 49.364489°
W 17.550659°		 ← 397.81 m → N 49.364489°
W 17.545166°		 →
↑
397.81 m
↓
↑
397.81 m
↓
N 49.360912°
W 17.550659°		 ← 397.84 m →
158 258 m²		 N 49.360912°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451255798339844 y=0.341880798339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451255798339844 × 216)
    floor (0.451255798339844 × 65536)
    floor (29573.5)     		tx = 29573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341880798339844 × 216)
    floor (0.341880798339844 × 65536)
    floor (22405.5)     		ty = 22405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29573 / 22405 ti = "16/29573/22405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29573/22405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29573 ÷ 216
    29573 ÷ 65536     		x = 0.451248168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22405 ÷ 216
    22405 ÷ 65536     		y = 0.341873168945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451248168945312 × 2 - 1) × π
    -0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341873168945312 × 2 - 1) × π
    0.316253662109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.993540181525284
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30631679} λ = -0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.993540181525284))-π/2
    2×atan(2.70077881529358)-π/2
    2×1.21618459731603-π/2
    2.43236919463206-1.57079632675     		φ = 0.86157287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86157287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.364489°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29573 KachelY 22405 -0.30631679 0.86157287 -17.550659 49.364489
    Oben rechts KachelX + 1 29574 KachelY 22405 -0.30622091 0.86157287 -17.545166 49.364489
    Unten links KachelX 29573 KachelY + 1 22406 -0.30631679 0.86151043 -17.550659 49.360912
    Unten rechts KachelX + 1 29574 KachelY + 1 22406 -0.30622091 0.86151043 -17.545166 49.360912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86157287-0.86151043) × R
    6.24399999999969e-05 × 6371000     		dl = 397.805239999981m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86157287-0.86151043) × R
    6.24399999999969e-05 × 6371000     		dr = 397.805239999981m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(0.86157287) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651244673784735 × 6371000     		do = 397.813772823492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(0.86151043) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.651292056222137 × 6371000     		du = 397.842716455505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86157287)-sin(0.86151043))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651244673784735-0.651292056222137)×R²
    abs(-0.30622091--0.30631679)×4.73824374017662e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.73824374017662e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.73824374017662e-05×40589641000000     		ar = 158258.160389207m²