Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29573 / 17796
↖ ↑ ↗
← N 63.223730°
W 17.550659°		 ← 275.19 m → N 63.223730°
W 17.545166°		 →
↑
275.23 m
↓
↑
275.23 m
↓
N 63.221255°
W 17.550659°		 ← 275.22 m →
75 744 m²		 N 63.221255°
W 17.545166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29573 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451255798339844 y=0.271553039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451255798339844 × 216)
    floor (0.451255798339844 × 65536)
    floor (29573.5)     		tx = 29573
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271553039550781 × 216)
    floor (0.271553039550781 × 65536)
    floor (17796.5)     		ty = 17796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29573 / 17796 ti = "16/29573/17796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29573/17796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29573 ÷ 216
    29573 ÷ 65536     		x = 0.451248168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17796 ÷ 216
    17796 ÷ 65536     		y = 0.27154541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451248168945312 × 2 - 1) × π
    -0.097503662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30631679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27154541015625 × 2 - 1) × π
    0.4569091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43542252222296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30631679} λ = -0.30631679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43542252222296))-π/2
    2×atan(4.20141982705636)-π/2
    2×1.33712929254458-π/2
    2.67425858508917-1.57079632675     		φ = 1.10346226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30631679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.550659°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10346226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.223730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29573 KachelY 17796 -0.30631679 1.10346226 -17.550659 63.223730
    Oben rechts KachelX + 1 29574 KachelY 17796 -0.30622091 1.10346226 -17.545166 63.223730
    Unten links KachelX 29573 KachelY + 1 17797 -0.30631679 1.10341906 -17.550659 63.221255
    Unten rechts KachelX + 1 29574 KachelY + 1 17797 -0.30622091 1.10341906 -17.545166 63.221255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10346226-1.10341906) × R
    4.319999999991e-05 × 6371000     		dl = 275.227199999426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10346226-1.10341906) × R
    4.319999999991e-05 × 6371000     		dr = 275.227199999426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(1.10346226) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450507817314704 × 6371000     		do = 275.193366958236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30631679--0.30622091) × cos(1.10341906) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450546384665583 × 6371000     		du = 275.2169258816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10346226)-sin(1.10341906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450507817314704-0.450546384665583)×R²
    abs(-0.30622091--0.30631679)×3.85673508789264e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85673508789264e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85673508789264e-05×40589641000000     		ar = 75743.941886127m²