Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29572 / 40835
↖ ↑ ↗
← S 40.459487°
W 17.556152°		 ← 464.73 m → S 40.459487°
W 17.550659°		 →
↑
464.70 m
↓
↑
464.70 m
↓
S 40.463666°
W 17.556152°		 ← 464.70 m →
215 952 m²		 S 40.463666°
W 17.550659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451240539550781 y=0.623100280761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451240539550781 × 216)
    floor (0.451240539550781 × 65536)
    floor (29572.5)     		tx = 29572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623100280761719 × 216)
    floor (0.623100280761719 × 65536)
    floor (40835.5)     		ty = 40835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29572 / 40835 ti = "16/29572/40835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29572/40835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29572 ÷ 216
    29572 ÷ 65536     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40835 ÷ 216
    40835 ÷ 65536     		y = 0.623092651367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623092651367188 × 2 - 1) × π
    -0.246185302734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.773413938469986
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773413938469986))-π/2
    2×atan(0.461435065320404)-π/2
    2×0.432322533383808-π/2
    0.864645066767617-1.57079632675     		φ = -0.70615126
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70615126 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.459487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29572 KachelY 40835 -0.30641266 -0.70615126 -17.556152 -40.459487
    Oben rechts KachelX + 1 29573 KachelY 40835 -0.30631679 -0.70615126 -17.550659 -40.459487
    Unten links KachelX 29572 KachelY + 1 40836 -0.30641266 -0.70622420 -17.556152 -40.463666
    Unten rechts KachelX + 1 29573 KachelY + 1 40836 -0.30631679 -0.70622420 -17.550659 -40.463666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70615126--0.70622420) × R
    7.29400000000213e-05 × 6371000     		dl = 464.700740000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70615126--0.70622420) × R
    7.29400000000213e-05 × 6371000     		dr = 464.700740000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(-0.70615126) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.760864991780512 × 6371000     		do = 464.727031600677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(-0.70622420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.760817658245638 × 6371000     		du = 464.698120856465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70615126)-sin(-0.70622420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760864991780512-0.760817658245638)×R²
    abs(-0.30631679--0.30641266)×4.73335348736281e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73335348736281e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73335348736281e-05×40589641000000     		ar = 215952.278156487m²