Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29572 / 40829
↖ ↑ ↗
← S 40.434405°
W 17.556152°		 ← 464.90 m → S 40.434405°
W 17.550659°		 →
↑
464.89 m
↓
↑
464.89 m
↓
S 40.438586°
W 17.556152°		 ← 464.87 m →
216 122 m²		 S 40.438586°
W 17.550659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451240539550781 y=0.623008728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451240539550781 × 216)
    floor (0.451240539550781 × 65536)
    floor (29572.5)     		tx = 29572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623008728027344 × 216)
    floor (0.623008728027344 × 65536)
    floor (40829.5)     		ty = 40829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29572 / 40829 ti = "16/29572/40829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29572/40829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29572 ÷ 216
    29572 ÷ 65536     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40829 ÷ 216
    40829 ÷ 65536     		y = 0.623001098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623001098632812 × 2 - 1) × π
    -0.246002197265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.772838695674545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.772838695674545))-π/2
    2×atan(0.461700578877352)-π/2
    2×0.432541415278903-π/2
    0.865082830557807-1.57079632675     		φ = -0.70571350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70571350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.434405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29572 KachelY 40829 -0.30641266 -0.70571350 -17.556152 -40.434405
    Oben rechts KachelX + 1 29573 KachelY 40829 -0.30631679 -0.70571350 -17.550659 -40.434405
    Unten links KachelX 29572 KachelY + 1 40830 -0.30641266 -0.70578647 -17.556152 -40.438586
    Unten rechts KachelX + 1 29573 KachelY + 1 40830 -0.30631679 -0.70578647 -17.550659 -40.438586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70571350--0.70578647) × R
    7.2970000000061e-05 × 6371000     		dl = 464.891870000389m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70571350--0.70578647) × R
    7.2970000000061e-05 × 6371000     		dr = 464.891870000389m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(-0.70571350) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761148985802466 × 6371000     		do = 464.90049167604m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(-0.70578647) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.761101657106976 × 6371000     		du = 464.871583887664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70571350)-sin(-0.70578647))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.761148985802466-0.761101657106976)×R²
    abs(-0.30631679--0.30641266)×4.73286954905117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73286954905117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73286954905117e-05×40589641000000     		ar = 216121.739537347m²