Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29572 / 22397
↖ ↑ ↗
← N 49.393100°
W 17.556152°		 ← 397.54 m → N 49.393100°
W 17.550659°		 →
↑
397.55 m
↓
↑
397.55 m
↓
N 49.389525°
W 17.556152°		 ← 397.57 m →
158 048 m²		 N 49.389525°
W 17.550659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22397 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451240539550781 y=0.341758728027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451240539550781 × 216)
    floor (0.451240539550781 × 65536)
    floor (29572.5)     		tx = 29572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.341758728027344 × 216)
    floor (0.341758728027344 × 65536)
    floor (22397.5)     		ty = 22397
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29572 / 22397 ti = "16/29572/22397"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29572/22397.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29572 ÷ 216
    29572 ÷ 65536     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22397 ÷ 216
    22397 ÷ 65536     		y = 0.341751098632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.341751098632812 × 2 - 1) × π
    0.316497802734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.994307171919205
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.994307171919205))-π/2
    2×atan(2.70285108130349)-π/2
    2×1.21643427384227-π/2
    2.43286854768453-1.57079632675     		φ = 0.86207222
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86207222 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.393100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29572 KachelY 22397 -0.30641266 0.86207222 -17.556152 49.393100
    Oben rechts KachelX + 1 29573 KachelY 22397 -0.30631679 0.86207222 -17.550659 49.393100
    Unten links KachelX 29572 KachelY + 1 22398 -0.30641266 0.86200982 -17.556152 49.389525
    Unten rechts KachelX + 1 29573 KachelY + 1 22398 -0.30631679 0.86200982 -17.550659 49.389525
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86207222-0.86200982) × R
    6.2399999999907e-05 × 6371000     		dl = 397.550399999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86207222-0.86200982) × R
    6.2399999999907e-05 × 6371000     		dr = 397.550399999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(0.86207222) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650865651958317 × 6371000     		do = 397.540780129208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(0.86200982) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.650913024329885 × 6371000     		du = 397.569714594397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86207222)-sin(0.86200982))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650865651958317-0.650913024329885)×R²
    abs(-0.30631679--0.30641266)×4.73723715673779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73723715673779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73723715673779e-05×40589641000000     		ar = 158048.247661976m²