Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29572 / 21380
↖ ↑ ↗
← N 76.266087°
W 98.778076°		 ← 72.51 m → N 76.266087°
W 98.775330°		 →
↑
72.50 m
↓
↑
72.50 m
↓
N 76.265435°
W 98.778076°		 ← 72.52 m →
5 257 m²		 N 76.265435°
W 98.775330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225620269775391 y=0.163120269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225620269775391 × 217)
    floor (0.225620269775391 × 131072)
    floor (29572.5)     		tx = 29572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163120269775391 × 217)
    floor (0.163120269775391 × 131072)
    floor (21380.5)     		ty = 21380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29572 / 21380 ti = "17/29572/21380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29572/21380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29572 ÷ 217
    29572 ÷ 131072     		x = 0.225616455078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21380 ÷ 217
    21380 ÷ 131072     		y = 0.163116455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225616455078125 × 2 - 1) × π
    -0.54876708984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.72400266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163116455078125 × 2 - 1) × π
    0.67376708984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1167017396232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72400266} λ = -1.72400266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1167017396232))-π/2
    2×atan(8.30370449246815)-π/2
    2×1.45094532273526-π/2
    2.90189064547051-1.57079632675     		φ = 1.33109432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72400266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.778076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33109432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.266087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29572 KachelY 21380 -1.72400266 1.33109432 -98.778076 76.266087
    Oben rechts KachelX + 1 29573 KachelY 21380 -1.72395472 1.33109432 -98.775330 76.266087
    Unten links KachelX 29572 KachelY + 1 21381 -1.72400266 1.33108294 -98.778076 76.265435
    Unten rechts KachelX + 1 29573 KachelY + 1 21381 -1.72395472 1.33108294 -98.775330 76.265435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33109432-1.33108294) × R
    1.13800000001163e-05 × 6371000     		dl = 72.5019800007409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33109432-1.33108294) × R
    1.13800000001163e-05 × 6371000     		dr = 72.5019800007409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72400266--1.72395472) × cos(1.33109432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237413163761063 × 6371000     		do = 72.5120912274163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72400266--1.72395472) × cos(1.33108294) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237424218377441 × 6371000     		du = 72.515467591804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33109432)-sin(1.33108294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237413163761063-0.237424218377441)×R²
    abs(-1.72395472--1.72400266)×1.10546163781255e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10546163781255e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10546163781255e-05×40589641000000     		ar = 5257.392584777m²