Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29572 / 19844
↖ ↑ ↗
← N 57.692406°
W 17.556152°		 ← 326.44 m → N 57.692406°
W 17.550659°		 →
↑
326.45 m
↓
↑
326.45 m
↓
N 57.689470°
W 17.556152°		 ← 326.47 m →
106 572 m²		 N 57.689470°
W 17.550659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451240539550781 y=0.302803039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451240539550781 × 216)
    floor (0.451240539550781 × 65536)
    floor (29572.5)     		tx = 29572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302803039550781 × 216)
    floor (0.302803039550781 × 65536)
    floor (19844.5)     		ty = 19844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29572 / 19844 ti = "16/29572/19844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29572/19844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29572 ÷ 216
    29572 ÷ 65536     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19844 ÷ 216
    19844 ÷ 65536     		y = 0.30279541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30279541015625 × 2 - 1) × π
    0.3944091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23907298137921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23907298137921))-π/2
    2×atan(3.45241153108996)-π/2
    2×1.28885937838107-π/2
    2.57771875676214-1.57079632675     		φ = 1.00692243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00692243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.692406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29572 KachelY 19844 -0.30641266 1.00692243 -17.556152 57.692406
    Oben rechts KachelX + 1 29573 KachelY 19844 -0.30631679 1.00692243 -17.550659 57.692406
    Unten links KachelX 29572 KachelY + 1 19845 -0.30641266 1.00687119 -17.556152 57.689470
    Unten rechts KachelX + 1 29573 KachelY + 1 19845 -0.30631679 1.00687119 -17.550659 57.689470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00692243-1.00687119) × R
    5.12399999998969e-05 × 6371000     		dl = 326.450039999343m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00692243-1.00687119) × R
    5.12399999998969e-05 × 6371000     		dr = 326.450039999343m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(1.00692243) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534464382799649 × 6371000     		do = 326.444308514617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(1.00687119) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534507689684752 × 6371000     		du = 326.470759830395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00692243)-sin(1.00687119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534464382799649-0.534507689684752)×R²
    abs(-0.30631679--0.30641266)×4.33068851030116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33068851030116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33068851030116e-05×40589641000000     		ar = 106572.075112083m²