Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29572 / 19350
↖ ↑ ↗
← N 59.113948°
W 17.556152°		 ← 313.54 m → N 59.113948°
W 17.550659°		 →
↑
313.52 m
↓
↑
313.52 m
↓
N 59.111129°
W 17.556152°		 ← 313.56 m →
98 303 m²		 N 59.111129°
W 17.550659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29572 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451240539550781 y=0.295265197753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451240539550781 × 216)
    floor (0.451240539550781 × 65536)
    floor (29572.5)     		tx = 29572
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295265197753906 × 216)
    floor (0.295265197753906 × 65536)
    floor (19350.5)     		ty = 19350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29572 / 19350 ti = "16/29572/19350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29572/19350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29572 ÷ 216
    29572 ÷ 65536     		x = 0.45123291015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19350 ÷ 216
    19350 ÷ 65536     		y = 0.295257568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45123291015625 × 2 - 1) × π
    -0.0975341796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30641266
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295257568359375 × 2 - 1) × π
    0.40948486328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28643463820383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30641266} λ = -0.30641266}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28643463820383))-π/2
    2×atan(3.61985741957342)-π/2
    2×1.30126467975791-π/2
    2.60252935951581-1.57079632675     		φ = 1.03173303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30641266} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.556152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03173303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.113948°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29572 KachelY 19350 -0.30641266 1.03173303 -17.556152 59.113948
    Oben rechts KachelX + 1 29573 KachelY 19350 -0.30631679 1.03173303 -17.550659 59.113948
    Unten links KachelX 29572 KachelY + 1 19351 -0.30641266 1.03168382 -17.556152 59.111129
    Unten rechts KachelX + 1 29573 KachelY + 1 19351 -0.30631679 1.03168382 -17.550659 59.111129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03173303-1.03168382) × R
    4.92100000000217e-05 × 6371000     		dl = 313.516910000138m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03173303-1.03168382) × R
    4.92100000000217e-05 × 6371000     		dr = 313.516910000138m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(1.03173303) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513332347744965 × 6371000     		do = 313.537119948005m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30641266--0.30631679) × cos(1.03168382) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.513374578648272 × 6371000     		du = 313.562914067261m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03173303)-sin(1.03168382))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513332347744965-0.513374578648272)×R²
    abs(-0.30631679--0.30641266)×4.22309033067947e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.22309033067947e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.22309033067947e-05×40589641000000     		ar = 98303.2324823043m²