Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29571 / 42839
↖ ↑ ↗
← S 48.308774°
W 17.561646°		 ← 406.29 m → S 48.308774°
W 17.556152°		 →
↑
406.28 m
↓
↑
406.28 m
↓
S 48.312428°
W 17.561646°		 ← 406.26 m →
165 060 m²		 S 48.312428°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42839 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451225280761719 y=0.653678894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451225280761719 × 216)
    floor (0.451225280761719 × 65536)
    floor (29571.5)     		tx = 29571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653678894042969 × 216)
    floor (0.653678894042969 × 65536)
    floor (42839.5)     		ty = 42839
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29571 / 42839 ti = "16/29571/42839"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29571/42839.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29571 ÷ 216
    29571 ÷ 65536     		x = 0.451217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42839 ÷ 216
    42839 ÷ 65536     		y = 0.653671264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.097564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30650854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653671264648438 × 2 - 1) × π
    -0.307342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.965545032147171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30650854} λ = -0.30650854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965545032147171))-π/2
    2×atan(0.380775608225111)-π/2
    2×0.36382457758524-π/2
    0.72764915517048-1.57079632675     		φ = -0.84314717
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30650854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.561646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84314717 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.308774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29571 KachelY 42839 -0.30650854 -0.84314717 -17.561646 -48.308774
    Oben rechts KachelX + 1 29572 KachelY 42839 -0.30641266 -0.84314717 -17.556152 -48.308774
    Unten links KachelX 29571 KachelY + 1 42840 -0.30650854 -0.84321094 -17.561646 -48.312428
    Unten rechts KachelX + 1 29572 KachelY + 1 42840 -0.30641266 -0.84321094 -17.556152 -48.312428
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84314717--0.84321094) × R
    6.37700000000185e-05 × 6371000     		dl = 406.278670000118m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84314717--0.84321094) × R
    6.37700000000185e-05 × 6371000     		dr = 406.278670000118m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30650854--0.30641266) × cos(-0.84314717) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665116005722269 × 6371000     		do = 406.287096467105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30650854--0.30641266) × cos(-0.84321094) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665068384757071 × 6371000     		du = 406.258007130035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84314717)-sin(-0.84321094))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665116005722269-0.665068384757071)×R²
    abs(-0.30641266--0.30650854)×4.76209651982806e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76209651982806e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76209651982806e-05×40589641000000     		ar = 165059.872058322m²