Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29571 / 29969
↖ ↑ ↗
← S 81.545775°
E144.876709°		 ← 179.60 m → S 81.545775°
E144.887695°		 →
↑
179.60 m
↓
↑
179.60 m
↓
S 81.547390°
E144.876709°		 ← 179.57 m →
32 254 m²		 S 81.547390°
E144.887695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29969 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902450561523438 y=0.914596557617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902450561523438 × 215)
    floor (0.902450561523438 × 32768)
    floor (29571.5)     		tx = 29571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914596557617188 × 215)
    floor (0.914596557617188 × 32768)
    floor (29969.5)     		ty = 29969
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29571 / 29969 ti = "15/29571/29969"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29571/29969.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29571 ÷ 215
    29571 ÷ 32768     		x = 0.902435302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29969 ÷ 215
    29969 ÷ 32768     		y = 0.914581298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902435302734375 × 2 - 1) × π
    0.80487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.52857558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914581298828125 × 2 - 1) × π
    -0.82916259765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60489112535385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52857558} λ = 2.52857558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60489112535385))-π/2
    2×atan(0.0739111838134959)-π/2
    2×0.0737770343510976-π/2
    0.147554068702195-1.57079632675     		φ = -1.42324226
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52857558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.876709°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42324226 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.545775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29571 KachelY 29969 2.52857558 -1.42324226 144.876709 -81.545775
    Oben rechts KachelX + 1 29572 KachelY 29969 2.52876733 -1.42324226 144.887695 -81.545775
    Unten links KachelX 29571 KachelY + 1 29970 2.52857558 -1.42327045 144.876709 -81.547390
    Unten rechts KachelX + 1 29572 KachelY + 1 29970 2.52876733 -1.42327045 144.887695 -81.547390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42324226--1.42327045) × R
    2.81899999998725e-05 × 6371000     		dl = 179.598489999188m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42324226--1.42327045) × R
    2.81899999998725e-05 × 6371000     		dr = 179.598489999188m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52857558-2.52876733) × cos(-1.42324226) × R
    0.000191749999999935 × 0.14701921986002 × 6371000     		do = 179.604449485319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52857558-2.52876733) × cos(-1.42327045) × R
    0.000191749999999935 × 0.146991336124421 × 6371000     		du = 179.570385619475m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42324226)-sin(-1.42327045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14701921986002-0.146991336124421)×R²
    abs(2.52876733-2.52857558)×2.78837355988937e-05×R²
    0.000191749999999935×2.78837355988937e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.78837355988937e-05×40589641000000     		ar = 32253.6290177795m²