Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29571 / 19351
↖ ↑ ↗
← N 59.111129°
W 17.561646°		 ← 313.60 m → N 59.111129°
W 17.556152°		 →
↑
313.64 m
↓
↑
313.64 m
↓
N 59.108308°
W 17.561646°		 ← 313.62 m →
98 362 m²		 N 59.108308°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19351 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451225280761719 y=0.295280456542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451225280761719 × 216)
    floor (0.451225280761719 × 65536)
    floor (29571.5)     		tx = 29571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.295280456542969 × 216)
    floor (0.295280456542969 × 65536)
    floor (19351.5)     		ty = 19351
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29571 / 19351 ti = "16/29571/19351"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29571/19351.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29571 ÷ 216
    29571 ÷ 65536     		x = 0.451217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19351 ÷ 216
    19351 ÷ 65536     		y = 0.295272827148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.097564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30650854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.295272827148438 × 2 - 1) × π
    0.409454345703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28633876440459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30650854} λ = -0.30650854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28633876440459))-π/2
    2×atan(3.61951038672585)-π/2
    2×1.30124007118444-π/2
    2.60248014236889-1.57079632675     		φ = 1.03168382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30650854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.561646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03168382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.111129°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29571 KachelY 19351 -0.30650854 1.03168382 -17.561646 59.111129
    Oben rechts KachelX + 1 29572 KachelY 19351 -0.30641266 1.03168382 -17.556152 59.111129
    Unten links KachelX 29571 KachelY + 1 19352 -0.30650854 1.03163459 -17.561646 59.108308
    Unten rechts KachelX + 1 29572 KachelY + 1 19352 -0.30641266 1.03163459 -17.556152 59.108308
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03168382-1.03163459) × R
    4.92300000001222e-05 × 6371000     		dl = 313.644330000779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03168382-1.03163459) × R
    4.92300000001222e-05 × 6371000     		dr = 313.644330000779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30650854--0.30641266) × cos(1.03168382) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.513374578648272 × 6371000     		do = 313.595621161649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30650854--0.30641266) × cos(1.03163459) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.513416825471166 × 6371000     		du = 313.621427695939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03168382)-sin(1.03163459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.513374578648272-0.513416825471166)×R²
    abs(-0.30641266--0.30650854)×4.22468228939987e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.22468228939987e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.22468228939987e-05×40589641000000     		ar = 98361.5355468308m²