Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29571 / 17749
↖ ↑ ↗
← N 63.339808°
W 17.561646°		 ← 274.09 m → N 63.339808°
W 17.556152°		 →
↑
274.08 m
↓
↑
274.08 m
↓
N 63.337343°
W 17.561646°		 ← 274.11 m →
75 125 m²		 N 63.337343°
W 17.556152°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29571 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451225280761719 y=0.270835876464844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451225280761719 × 216)
    floor (0.451225280761719 × 65536)
    floor (29571.5)     		tx = 29571
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270835876464844 × 216)
    floor (0.270835876464844 × 65536)
    floor (17749.5)     		ty = 17749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29571 / 17749 ti = "16/29571/17749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29571/17749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29571 ÷ 216
    29571 ÷ 65536     		x = 0.451217651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17749 ÷ 216
    17749 ÷ 65536     		y = 0.270828247070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451217651367188 × 2 - 1) × π
    -0.097564697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30650854
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270828247070312 × 2 - 1) × π
    0.458343505859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.43992859078725
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30650854} λ = -0.30650854}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43992859078725))-π/2
    2×atan(4.22039443119198)-π/2
    2×1.33814226250823-π/2
    2.67628452501645-1.57079632675     		φ = 1.10548820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30650854} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.561646°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10548820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.339808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29571 KachelY 17749 -0.30650854 1.10548820 -17.561646 63.339808
    Oben rechts KachelX + 1 29572 KachelY 17749 -0.30641266 1.10548820 -17.556152 63.339808
    Unten links KachelX 29571 KachelY + 1 17750 -0.30650854 1.10544518 -17.561646 63.337343
    Unten rechts KachelX + 1 29572 KachelY + 1 17750 -0.30641266 1.10544518 -17.556152 63.337343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10548820-1.10544518) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dl = 274.080419999323m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10548820-1.10544518) × R
    4.30199999998937e-05 × 6371000     		dr = 274.080419999323m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30650854--0.30641266) × cos(1.10548820) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44869819052839 × 6371000     		do = 274.087953757568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30650854--0.30641266) × cos(1.10544518) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.448736636370978 × 6371000     		du = 274.111438457413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10548820)-sin(1.10544518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44869819052839-0.448736636370978)×R²
    abs(-0.30641266--0.30650854)×3.84458425878309e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84458425878309e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84458425878309e-05×40589641000000     		ar = 75125.3598424147m²