Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29570 / 42707
↖ ↑ ↗
← S 47.824220°
W 17.567139°		 ← 410.09 m → S 47.824220°
W 17.561646°		 →
↑
410.10 m
↓
↑
410.10 m
↓
S 47.827908°
W 17.567139°		 ← 410.06 m →
168 171 m²		 S 47.827908°
W 17.561646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451210021972656 y=0.651664733886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451210021972656 × 216)
    floor (0.451210021972656 × 65536)
    floor (29570.5)     		tx = 29570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651664733886719 × 216)
    floor (0.651664733886719 × 65536)
    floor (42707.5)     		ty = 42707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29570 / 42707 ti = "16/29570/42707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29570/42707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29570 ÷ 216
    29570 ÷ 65536     		x = 0.451202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42707 ÷ 216
    42707 ÷ 65536     		y = 0.651657104492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30660441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.651657104492188 × 2 - 1) × π
    -0.303314208984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.952889690647476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30660441} λ = -0.30660441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.952889690647476))-π/2
    2×atan(0.385625074685932)-π/2
    2×0.368053111504203-π/2
    0.736106223008407-1.57079632675     		φ = -0.83469010
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30660441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.567139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83469010 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.824220°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29570 KachelY 42707 -0.30660441 -0.83469010 -17.567139 -47.824220
    Oben rechts KachelX + 1 29571 KachelY 42707 -0.30650854 -0.83469010 -17.561646 -47.824220
    Unten links KachelX 29570 KachelY + 1 42708 -0.30660441 -0.83475447 -17.567139 -47.827908
    Unten rechts KachelX + 1 29571 KachelY + 1 42708 -0.30650854 -0.83475447 -17.561646 -47.827908
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83469010--0.83475447) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dl = 410.101270000228m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83469010--0.83475447) × R
    6.43700000000358e-05 × 6371000     		dr = 410.101270000228m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30660441--0.30650854) × cos(-0.83469010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671407378215865 × 6371000     		do = 410.087415302006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30660441--0.30650854) × cos(-0.83475447) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.671359672959571 × 6371000     		du = 410.058277514897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83469010)-sin(-0.83475447))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.671407378215865-0.671359672959571)×R²
    abs(-0.30650854--0.30660441)×4.77052562940505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77052562940505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77052562940505e-05×40589641000000     		ar = 168171.395162854m²