Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29570 / 19847
↖ ↑ ↗
← N 57.683597°
W 17.567139°		 ← 326.52 m → N 57.683597°
W 17.561646°		 →
↑
326.58 m
↓
↑
326.58 m
↓
N 57.680660°
W 17.567139°		 ← 326.55 m →
106 640 m²		 N 57.680660°
W 17.561646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451210021972656 y=0.302848815917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451210021972656 × 216)
    floor (0.451210021972656 × 65536)
    floor (29570.5)     		tx = 29570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302848815917969 × 216)
    floor (0.302848815917969 × 65536)
    floor (19847.5)     		ty = 19847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29570 / 19847 ti = "16/29570/19847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29570/19847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29570 ÷ 216
    29570 ÷ 65536     		x = 0.451202392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19847 ÷ 216
    19847 ÷ 65536     		y = 0.302841186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451202392578125 × 2 - 1) × π
    -0.09759521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30660441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302841186523438 × 2 - 1) × π
    0.394317626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.23878535998149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30660441} λ = -0.30660441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23878535998149))-π/2
    2×atan(3.45141868644841)-π/2
    2×1.28878250734186-π/2
    2.57756501468371-1.57079632675     		φ = 1.00676869
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30660441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.567139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00676869 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.683597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29570 KachelY 19847 -0.30660441 1.00676869 -17.567139 57.683597
    Oben rechts KachelX + 1 29571 KachelY 19847 -0.30650854 1.00676869 -17.561646 57.683597
    Unten links KachelX 29570 KachelY + 1 19848 -0.30660441 1.00671743 -17.567139 57.680660
    Unten rechts KachelX + 1 29571 KachelY + 1 19848 -0.30650854 1.00671743 -17.561646 57.680660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00676869-1.00671743) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dl = 326.577459999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00676869-1.00671743) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dr = 326.577459999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30660441--0.30650854) × cos(1.00676869) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534594316146911 × 6371000     		do = 326.52367021404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30660441--0.30650854) × cos(1.00671743) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534637635722644 × 6371000     		du = 326.550129281099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00676869)-sin(1.00671743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534594316146911-0.534637635722644)×R²
    abs(-0.30650854--0.30660441)×4.33195757324478e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.33195757324478e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.33195757324478e-05×40589641000000     		ar = 106639.591338805m²