Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29569 / 21377
↖ ↑ ↗
← N 76.268043°
W 98.786316°		 ← 72.50 m → N 76.268043°
W 98.783569°		 →
↑
72.50 m
↓
↑
72.50 m
↓
N 76.267391°
W 98.786316°		 ← 72.51 m →
5 257 m²		 N 76.267391°
W 98.783569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225597381591797 y=0.163097381591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225597381591797 × 217)
    floor (0.225597381591797 × 131072)
    floor (29569.5)     		tx = 29569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163097381591797 × 217)
    floor (0.163097381591797 × 131072)
    floor (21377.5)     		ty = 21377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29569 / 21377 ti = "17/29569/21377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29569/21377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29569 ÷ 217
    29569 ÷ 131072     		x = 0.225593566894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21377 ÷ 217
    21377 ÷ 131072     		y = 0.163093566894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225593566894531 × 2 - 1) × π
    -0.548812866210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.72414647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163093566894531 × 2 - 1) × π
    0.673812866210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.11684555032206
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72414647} λ = -1.72414647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11684555032206))-π/2
    2×atan(8.30489873988506)-π/2
    2×1.45096239281948-π/2
    2.90192478563896-1.57079632675     		φ = 1.33112846
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72414647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.786316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33112846 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.268043°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29569 KachelY 21377 -1.72414647 1.33112846 -98.786316 76.268043
    Oben rechts KachelX + 1 29570 KachelY 21377 -1.72409853 1.33112846 -98.783569 76.268043
    Unten links KachelX 29569 KachelY + 1 21378 -1.72414647 1.33111708 -98.786316 76.267391
    Unten rechts KachelX + 1 29570 KachelY + 1 21378 -1.72409853 1.33111708 -98.783569 76.267391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33112846-1.33111708) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dl = 72.5019799993263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33112846-1.33111708) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dr = 72.5019799993263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72414647--1.72409853) × cos(1.33112846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237379999727458 × 6371000     		do = 72.5019620779113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72414647--1.72409853) × cos(1.33111708) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.23739105443607 × 6371000     		du = 72.5053384704695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33112846)-sin(1.33111708))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237379999727458-0.23739105443607)×R²
    abs(-1.72409853--1.72414647)×1.10547086117629e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10547086117629e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10547086117629e-05×40589641000000     		ar = 5256.65820210994m²