Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29569 / 19835
↖ ↑ ↗
← N 57.718819°
W 17.572632°		 ← 326.21 m → N 57.718819°
W 17.567139°		 →
↑
326.20 m
↓
↑
326.20 m
↓
N 57.715885°
W 17.572632°		 ← 326.23 m →
106 411 m²		 N 57.715885°
W 17.567139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29569 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19835 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451194763183594 y=0.302665710449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451194763183594 × 216)
    floor (0.451194763183594 × 65536)
    floor (29569.5)     		tx = 29569
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302665710449219 × 216)
    floor (0.302665710449219 × 65536)
    floor (19835.5)     		ty = 19835
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29569 / 19835 ti = "16/29569/19835"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29569/19835.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29569 ÷ 216
    29569 ÷ 65536     		x = 0.451187133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19835 ÷ 216
    19835 ÷ 65536     		y = 0.302658081054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451187133789062 × 2 - 1) × π
    -0.097625732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30670028
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302658081054688 × 2 - 1) × π
    0.394683837890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.23993584557237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30670028} λ = -0.30670028}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23993584557237))-π/2
    2×atan(3.45539177896988)-π/2
    2×1.28908987940144-π/2
    2.57817975880288-1.57079632675     		φ = 1.00738343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30670028} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.572632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00738343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.718819°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29569 KachelY 19835 -0.30670028 1.00738343 -17.572632 57.718819
    Oben rechts KachelX + 1 29570 KachelY 19835 -0.30660441 1.00738343 -17.567139 57.718819
    Unten links KachelX 29569 KachelY + 1 19836 -0.30670028 1.00733223 -17.572632 57.715885
    Unten rechts KachelX + 1 29570 KachelY + 1 19836 -0.30660441 1.00733223 -17.567139 57.715885
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00738343-1.00733223) × R
    5.1199999999918e-05 × 6371000     		dl = 326.195199999477m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00738343-1.00733223) × R
    5.1199999999918e-05 × 6371000     		dr = 326.195199999477m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30670028--0.30660441) × cos(1.00738343) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534074692970806 × 6371000     		do = 326.206290733066m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30670028--0.30660441) × cos(1.00733223) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.534117978660346 × 6371000     		du = 326.232729102853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00738343)-sin(1.00733223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534074692970806-0.534117978660346)×R²
    abs(-0.30660441--0.30670028)×4.32856895399292e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32856895399292e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32856895399292e-05×40589641000000     		ar = 106411.238304748m²