Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29568 / 42838
↖ ↑ ↗
← S 48.305121°
W 17.578125°		 ← 406.32 m → S 48.305121°
W 17.572632°		 →
↑
406.28 m
↓
↑
406.28 m
↓
S 48.308774°
W 17.578125°		 ← 406.29 m →
165 072 m²		 S 48.308774°
W 17.572632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451179504394531 y=0.653663635253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451179504394531 × 216)
    floor (0.451179504394531 × 65536)
    floor (29568.5)     		tx = 29568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653663635253906 × 216)
    floor (0.653663635253906 × 65536)
    floor (42838.5)     		ty = 42838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29568 / 42838 ti = "16/29568/42838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29568/42838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29568 ÷ 216
    29568 ÷ 65536     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42838 ÷ 216
    42838 ÷ 65536     		y = 0.653656005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653656005859375 × 2 - 1) × π
    -0.30731201171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.965449158347931
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.965449158347931))-π/2
    2×atan(0.380812116379389)-π/2
    2×0.363856462325707-π/2
    0.727712924651415-1.57079632675     		φ = -0.84308340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84308340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.305121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29568 KachelY 42838 -0.30679616 -0.84308340 -17.578125 -48.305121
    Oben rechts KachelX + 1 29569 KachelY 42838 -0.30670028 -0.84308340 -17.572632 -48.305121
    Unten links KachelX 29568 KachelY + 1 42839 -0.30679616 -0.84314717 -17.578125 -48.308774
    Unten rechts KachelX + 1 29569 KachelY + 1 42839 -0.30670028 -0.84314717 -17.572632 -48.308774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84308340--0.84314717) × R
    6.37699999999075e-05 × 6371000     		dl = 406.278669999411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84308340--0.84314717) × R
    6.37699999999075e-05 × 6371000     		dr = 406.278669999411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30670028) × cos(-0.84308340) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665163623982698 × 6371000     		do = 406.316184151963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30670028) × cos(-0.84314717) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665116005722269 × 6371000     		du = 406.287096467105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84308340)-sin(-0.84314717))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665163623982698-0.665116005722269)×R²
    abs(-0.30670028--0.30679616)×4.76182604287612e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76182604287612e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76182604287612e-05×40589641000000     		ar = 165071.690099705m²