Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29568 / 21376
↖ ↑ ↗
← N 76.268695°
W 98.789063°		 ← 72.50 m → N 76.268695°
W 98.786316°		 →
↑
72.50 m
↓
↑
72.50 m
↓
N 76.268043°
W 98.789063°		 ← 72.50 m →
5 256 m²		 N 76.268043°
W 98.786316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225589752197266 y=0.163089752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225589752197266 × 217)
    floor (0.225589752197266 × 131072)
    floor (29568.5)     		tx = 29568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163089752197266 × 217)
    floor (0.163089752197266 × 131072)
    floor (21376.5)     		ty = 21376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29568 / 21376 ti = "17/29568/21376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29568/21376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29568 ÷ 217
    29568 ÷ 131072     		x = 0.2255859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21376 ÷ 217
    21376 ÷ 131072     		y = 0.1630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2255859375 × 2 - 1) × π
    -0.548828125 × 3.1415926535     		Λ = -1.72419441
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1630859375 × 2 - 1) × π
    0.673828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.11689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72419441} λ = -1.72419441}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.11689348722168))-π/2
    2×atan(8.30529686052456)-π/2
    2×1.45096808231764-π/2
    2.90193616463529-1.57079632675     		φ = 1.33113984
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72419441} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.789063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33113984 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.268695°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29568 KachelY 21376 -1.72419441 1.33113984 -98.789063 76.268695
    Oben rechts KachelX + 1 29569 KachelY 21376 -1.72414647 1.33113984 -98.786316 76.268695
    Unten links KachelX 29568 KachelY + 1 21377 -1.72419441 1.33112846 -98.789063 76.268043
    Unten rechts KachelX + 1 29569 KachelY + 1 21377 -1.72414647 1.33112846 -98.786316 76.268043
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33113984-1.33112846) × R
    1.13800000001163e-05 × 6371000     		dl = 72.5019800007409m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33113984-1.33112846) × R
    1.13800000001163e-05 × 6371000     		dr = 72.5019800007409m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72419441--1.72414647) × cos(1.33113984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237368944988105 × 6371000     		do = 72.4985856759636m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72419441--1.72414647) × cos(1.33112846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.237379999727458 × 6371000     		du = 72.5019620779113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33113984)-sin(1.33112846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237368944988105-0.237379999727458)×R²
    abs(-1.72414647--1.72419441)×1.10547393537552e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10547393537552e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10547393537552e-05×40589641000000     		ar = 5256.4134067354m²