Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29568 / 17786
↖ ↑ ↗
← N 63.248467°
W 17.578125°		 ← 274.96 m → N 63.248467°
W 17.572632°		 →
↑
274.91 m
↓
↑
274.91 m
↓
N 63.245994°
W 17.578125°		 ← 274.98 m →
75 592 m²		 N 63.245994°
W 17.572632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17786 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451179504394531 y=0.271400451660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451179504394531 × 216)
    floor (0.451179504394531 × 65536)
    floor (29568.5)     		tx = 29568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271400451660156 × 216)
    floor (0.271400451660156 × 65536)
    floor (17786.5)     		ty = 17786
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29568 / 17786 ti = "16/29568/17786"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29568/17786.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29568 ÷ 216
    29568 ÷ 65536     		x = 0.451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17786 ÷ 216
    17786 ÷ 65536     		y = 0.271392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451171875 × 2 - 1) × π
    -0.09765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30679616
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271392822265625 × 2 - 1) × π
    0.45721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43638126021536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30679616} λ = -0.30679616}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43638126021536))-π/2
    2×atan(4.20544981941129)-π/2
    2×1.33734515962151-π/2
    2.67469031924302-1.57079632675     		φ = 1.10389399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30679616} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.578125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10389399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.248467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29568 KachelY 17786 -0.30679616 1.10389399 -17.578125 63.248467
    Oben rechts KachelX + 1 29569 KachelY 17786 -0.30670028 1.10389399 -17.572632 63.248467
    Unten links KachelX 29568 KachelY + 1 17787 -0.30679616 1.10385084 -17.578125 63.245994
    Unten rechts KachelX + 1 29569 KachelY + 1 17787 -0.30670028 1.10385084 -17.572632 63.245994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10389399-1.10385084) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dl = 274.908649999948m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10389399-1.10385084) × R
    4.31499999999918e-05 × 6371000     		dr = 274.908649999948m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30679616--0.30670028) × cos(1.10389399) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450122338677305 × 6371000     		do = 274.957896762072m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30679616--0.30670028) × cos(1.10385084) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.450160869779879 × 6371000     		du = 274.981433543105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10389399)-sin(1.10385084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450122338677305-0.450160869779879)×R²
    abs(-0.30670028--0.30679616)×3.85311025734025e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85311025734025e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85311025734025e-05×40589641000000     		ar = 75591.5394496491m²