Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 29567 / 29567
↖ ↑ ↗
← S 80.871084°
E144.832764°		 ← 193.82 m → S 80.871084°
E144.843750°		 →
↑
193.81 m
↓
↑
193.81 m
↓
S 80.872827°
E144.832764°		 ← 193.78 m →
37 560 m²		 S 80.872827°
E144.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.902328491210938 y=0.902328491210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.902328491210938 × 215)
    floor (0.902328491210938 × 32768)
    floor (29567.5)     		tx = 29567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.902328491210938 × 215)
    floor (0.902328491210938 × 32768)
    floor (29567.5)     		ty = 29567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 29567 / 29567 ti = "15/29567/29567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/29567/29567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29567 ÷ 215
    29567 ÷ 32768     		x = 0.902313232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29567 ÷ 215
    29567 ÷ 32768     		y = 0.902313232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.902313232421875 × 2 - 1) × π
    0.80462646484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.52780859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.902313232421875 × 2 - 1) × π
    -0.80462646484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5278085907648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.52780859} λ = 2.52780859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5278085907648))-π/2
    2×atan(0.079833777210653)-π/2
    2×0.0796648178026495-π/2
    0.159329635605299-1.57079632675     		φ = -1.41146669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.52780859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 144.832764°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41146669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.871084°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29567 KachelY 29567 2.52780859 -1.41146669 144.832764 -80.871084
    Oben rechts KachelX + 1 29568 KachelY 29567 2.52800034 -1.41146669 144.843750 -80.871084
    Unten links KachelX 29567 KachelY + 1 29568 2.52780859 -1.41149711 144.832764 -80.872827
    Unten rechts KachelX + 1 29568 KachelY + 1 29568 2.52800034 -1.41149711 144.843750 -80.872827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41146669--1.41149711) × R
    3.04200000000865e-05 × 6371000     		dl = 193.805820000551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41146669--1.41149711) × R
    3.04200000000865e-05 × 6371000     		dr = 193.805820000551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.52780859-2.52800034) × cos(-1.41146669) × R
    0.000191750000000379 × 0.158656370020214 × 6371000     		do = 193.8208488796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.52780859-2.52800034) × cos(-1.41149711) × R
    0.000191750000000379 × 0.15862633525071 × 6371000     		du = 193.784157226309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41146669)-sin(-1.41149711))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158656370020214-0.15862633525071)×R²
    abs(2.52800034-2.52780859)×3.0034769504389e-05×R²
    0.000191750000000379×3.0034769504389e-05×6371000²
    0.000191750000000379×3.0034769504389e-05×40589641000000     		ar = 37560.0530251394m²