Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29567 / 21375
↖ ↑ ↗
← N 76.269347°
W 98.791809°		 ← 72.48 m → N 76.269347°
W 98.789063°		 →
↑
72.50 m
↓
↑
72.50 m
↓
N 76.268695°
W 98.791809°		 ← 72.48 m →
5 255 m²		 N 76.268695°
W 98.789063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29567 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225582122802734 y=0.163082122802734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225582122802734 × 217)
    floor (0.225582122802734 × 131072)
    floor (29567.5)     		tx = 29567
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.163082122802734 × 217)
    floor (0.163082122802734 × 131072)
    floor (21375.5)     		ty = 21375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29567 / 21375 ti = "17/29567/21375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29567/21375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29567 ÷ 217
    29567 ÷ 131072     		x = 0.225578308105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21375 ÷ 217
    21375 ÷ 131072     		y = 0.163078308105469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225578308105469 × 2 - 1) × π
    -0.548843383789062 × 3.1415926535     		Λ = -1.72424234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.163078308105469 × 2 - 1) × π
    0.673843383789062 × 3.1415926535     		Φ = 2.1169414241213
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72424234} λ = -1.72424234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1169414241213))-π/2
    2×atan(8.3056950002492)-π/2
    2×1.45097377155087-π/2
    2.90194754310175-1.57079632675     		φ = 1.33115122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72424234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.791809°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33115122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.269347°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29567 KachelY 21375 -1.72424234 1.33115122 -98.791809 76.269347
    Oben rechts KachelX + 1 29568 KachelY 21375 -1.72419441 1.33115122 -98.789063 76.269347
    Unten links KachelX 29567 KachelY + 1 21376 -1.72424234 1.33113984 -98.791809 76.268695
    Unten rechts KachelX + 1 29568 KachelY + 1 21376 -1.72419441 1.33113984 -98.789063 76.268695
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33115122-1.33113984) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dl = 72.5019799993263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33115122-1.33113984) × R
    1.13799999998943e-05 × 6371000     		dr = 72.5019799993263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72424234--1.72419441) × cos(1.33115122) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237357890218011 × 6371000     		do = 72.4800871935333m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72424234--1.72419441) × cos(1.33113984) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.237368944988105 × 6371000     		du = 72.4834629005703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33115122)-sin(1.33113984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.237357890218011-0.237368944988105)×R²
    abs(-1.72419441--1.72424234)×1.10547700938324e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10547700938324e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10547700938324e-05×40589641000000     		ar = 5255.07220486916m²