Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29566 / 42814
↖ ↑ ↗
← S 48.217353°
W 17.589112°		 ← 407.01 m → S 48.217353°
W 17.583618°		 →
↑
406.98 m
↓
↑
406.98 m
↓
S 48.221013°
W 17.589112°		 ← 406.99 m →
165 641 m²		 S 48.221013°
W 17.583618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451148986816406 y=0.653297424316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451148986816406 × 216)
    floor (0.451148986816406 × 65536)
    floor (29566.5)     		tx = 29566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653297424316406 × 216)
    floor (0.653297424316406 × 65536)
    floor (42814.5)     		ty = 42814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29566 / 42814 ti = "16/29566/42814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29566/42814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29566 ÷ 216
    29566 ÷ 65536     		x = 0.451141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42814 ÷ 216
    42814 ÷ 65536     		y = 0.653289794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.09771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30698791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653289794921875 × 2 - 1) × π
    -0.30657958984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.963148187166168
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30698791} λ = -0.30698791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.963148187166168))-π/2
    2×atan(0.381689362957345)-π/2
    2×0.36462238097507-π/2
    0.72924476195014-1.57079632675     		φ = -0.84155156
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30698791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.589112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84155156 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.217353°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29566 KachelY 42814 -0.30698791 -0.84155156 -17.589112 -48.217353
    Oben rechts KachelX + 1 29567 KachelY 42814 -0.30689203 -0.84155156 -17.583618 -48.217353
    Unten links KachelX 29566 KachelY + 1 42815 -0.30698791 -0.84161544 -17.589112 -48.221013
    Unten rechts KachelX + 1 29567 KachelY + 1 42815 -0.30689203 -0.84161544 -17.583618 -48.221013
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84155156--0.84161544) × R
    6.38800000000161e-05 × 6371000     		dl = 406.979480000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84155156--0.84161544) × R
    6.38800000000161e-05 × 6371000     		dr = 406.979480000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30698791--0.30689203) × cos(-0.84155156) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.666306664421347 × 6371000     		do = 407.014412095612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30698791--0.30689203) × cos(-0.84161544) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.666259029161996 × 6371000     		du = 406.985314026937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84155156)-sin(-0.84161544))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.666306664421347-0.666259029161996)×R²
    abs(-0.30689203--0.30698791)×4.7635259351253e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.7635259351253e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.7635259351253e-05×40589641000000     		ar = 165640.592685322m²