Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29566 / 19849
↖ ↑ ↗
← N 57.677723°
W 17.589112°		 ← 326.61 m → N 57.677723°
W 17.583618°		 →
↑
326.58 m
↓
↑
326.58 m
↓
N 57.674786°
W 17.589112°		 ← 326.64 m →
106 668 m²		 N 57.674786°
W 17.583618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29566 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451148986816406 y=0.302879333496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451148986816406 × 216)
    floor (0.451148986816406 × 65536)
    floor (29566.5)     		tx = 29566
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302879333496094 × 216)
    floor (0.302879333496094 × 65536)
    floor (19849.5)     		ty = 19849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29566 / 19849 ti = "16/29566/19849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29566/19849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29566 ÷ 216
    29566 ÷ 65536     		x = 0.451141357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19849 ÷ 216
    19849 ÷ 65536     		y = 0.302871704101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451141357421875 × 2 - 1) × π
    -0.09771728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30698791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302871704101562 × 2 - 1) × π
    0.394256591796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.23859361238301
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30698791} λ = -0.30698791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.23859361238301))-π/2
    2×atan(3.45075694864928)-π/2
    2×1.28873124960065-π/2
    2.5774624992013-1.57079632675     		φ = 1.00666617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30698791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.589112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00666617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.677723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29566 KachelY 19849 -0.30698791 1.00666617 -17.589112 57.677723
    Oben rechts KachelX + 1 29567 KachelY 19849 -0.30689203 1.00666617 -17.583618 57.677723
    Unten links KachelX 29566 KachelY + 1 19850 -0.30698791 1.00661491 -17.589112 57.674786
    Unten rechts KachelX + 1 29567 KachelY + 1 19850 -0.30689203 1.00661491 -17.583618 57.674786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00666617-1.00661491) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dl = 326.577459999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00666617-1.00661491) × R
    5.12599999999974e-05 × 6371000     		dr = 326.577459999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30698791--0.30689203) × cos(1.00666617) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.534680953893569 × 6371000     		do = 326.610652013673m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30698791--0.30689203) × cos(1.00661491) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.534724270659573 × 6371000     		du = 326.637112124296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00666617)-sin(1.00661491))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.534680953893569-0.534724270659573)×R²
    abs(-0.30689203--0.30698791)×4.33167660041089e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.33167660041089e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.33167660041089e-05×40589641000000     		ar = 106667.997804979m²