Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29565 / 42829
↖ ↑ ↗
← S 48.272225°
W 17.594605°		 ← 406.54 m → S 48.272225°
W 17.589112°		 →
↑
406.53 m
↓
↑
406.53 m
↓
S 48.275881°
W 17.594605°		 ← 406.51 m →
165 264 m²		 S 48.275881°
W 17.589112°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29565 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451133728027344 y=0.653526306152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451133728027344 × 216)
    floor (0.451133728027344 × 65536)
    floor (29565.5)     		tx = 29565
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653526306152344 × 216)
    floor (0.653526306152344 × 65536)
    floor (42829.5)     		ty = 42829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29565 / 42829 ti = "16/29565/42829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29565/42829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29565 ÷ 216
    29565 ÷ 65536     		x = 0.451126098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42829 ÷ 216
    42829 ÷ 65536     		y = 0.653518676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451126098632812 × 2 - 1) × π
    -0.097747802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30708378
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653518676757812 × 2 - 1) × π
    -0.307037353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.96458629415477
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30708378} λ = -0.30708378}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96458629415477))-π/2
    2×atan(0.381140847323619)-π/2
    2×0.364143527714108-π/2
    0.728287055428217-1.57079632675     		φ = -0.84250927
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30708378} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.594605°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84250927 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.272225°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29565 KachelY 42829 -0.30708378 -0.84250927 -17.594605 -48.272225
    Oben rechts KachelX + 1 29566 KachelY 42829 -0.30698791 -0.84250927 -17.589112 -48.272225
    Unten links KachelX 29565 KachelY + 1 42830 -0.30708378 -0.84257308 -17.594605 -48.275881
    Unten rechts KachelX + 1 29566 KachelY + 1 42830 -0.30698791 -0.84257308 -17.589112 -48.275881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84250927--0.84257308) × R
    6.38099999999975e-05 × 6371000     		dl = 406.533509999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84250927--0.84257308) × R
    6.38099999999975e-05 × 6371000     		dr = 406.533509999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30708378--0.30698791) × cos(-0.84250927) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665592215843127 × 6371000     		do = 406.535585244173m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30708378--0.30698791) × cos(-0.84257308) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6655445920885 × 6371000     		du = 406.506497237286m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84250927)-sin(-0.84257308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665592215843127-0.6655445920885)×R²
    abs(-0.30698791--0.30708378)×4.76237546265246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76237546265246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76237546265246e-05×40589641000000     		ar = 165264.425840436m²