Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29564 / 22693
↖ ↑ ↗
← N 48.323386°
W 17.600097°		 ← 406.13 m → N 48.323386°
W 17.594605°		 →
↑
406.15 m
↓
↑
406.15 m
↓
N 48.319734°
W 17.600097°		 ← 406.16 m →
164 955 m²		 N 48.319734°
W 17.594605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451118469238281 y=0.346275329589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451118469238281 × 216)
    floor (0.451118469238281 × 65536)
    floor (29564.5)     		tx = 29564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.346275329589844 × 216)
    floor (0.346275329589844 × 65536)
    floor (22693.5)     		ty = 22693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29564 / 22693 ti = "16/29564/22693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29564/22693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29564 ÷ 216
    29564 ÷ 65536     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22693 ÷ 216
    22693 ÷ 65536     		y = 0.346267700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.346267700195312 × 2 - 1) × π
    0.307464599609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.965928527344131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.965928527344131))-π/2
    2×atan(2.62722597543388)-π/2
    2×1.2070992653455-π/2
    2.414198530691-1.57079632675     		φ = 0.84340220
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84340220 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.323386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29564 KachelY 22693 -0.30717965 0.84340220 -17.600097 48.323386
    Oben rechts KachelX + 1 29565 KachelY 22693 -0.30708378 0.84340220 -17.594605 48.323386
    Unten links KachelX 29564 KachelY + 1 22694 -0.30717965 0.84333845 -17.600097 48.319734
    Unten rechts KachelX + 1 29565 KachelY + 1 22694 -0.30708378 0.84333845 -17.594605 48.319734
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84340220-0.84333845) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dl = 406.151250000185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84340220-0.84333845) × R
    6.37500000000291e-05 × 6371000     		dr = 406.151250000185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30708378) × cos(0.84340220) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.66492554298028 × 6371000     		do = 406.128389613191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30708378) × cos(0.84333845) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.664973157119159 × 6371000     		du = 406.157471746897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84340220)-sin(0.84333845))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.66492554298028-0.664973157119159)×R²
    abs(-0.30708378--0.30717965)×4.7614138878993e-05×R²
    9.58700000000534e-05×4.7614138878993e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×4.7614138878993e-05×40589641000000     		ar = 164955.459030189m²