Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 29564 / 21188
↖ ↑ ↗
← N 76.390727°
W 98.800049°		 ← 71.85 m → N 76.390727°
W 98.797302°		 →
↑
71.86 m
↓
↑
71.86 m
↓
N 76.390080°
W 98.800049°		 ← 71.85 m →
5 164 m²		 N 76.390080°
W 98.797302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.225559234619141 y=0.161655426025391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.225559234619141 × 217)
    floor (0.225559234619141 × 131072)
    floor (29564.5)     		tx = 29564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.161655426025391 × 217)
    floor (0.161655426025391 × 131072)
    floor (21188.5)     		ty = 21188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 29564 / 21188 ti = "17/29564/21188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/29564/21188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29564 ÷ 217
    29564 ÷ 131072     		x = 0.225555419921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21188 ÷ 217
    21188 ÷ 131072     		y = 0.161651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.225555419921875 × 2 - 1) × π
    -0.54888916015625 × 3.1415926535     		Λ = -1.72438615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.161651611328125 × 2 - 1) × π
    0.67669677734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.12590562435025
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.72438615} λ = -1.72438615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.12590562435025))-π/2
    2×atan(8.38048362255021)-π/2
    2×1.4520330139489-π/2
    2.9040660278978-1.57079632675     		φ = 1.33326970
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.72438615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -98.800049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33326970 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.390727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29564 KachelY 21188 -1.72438615 1.33326970 -98.800049 76.390727
    Oben rechts KachelX + 1 29565 KachelY 21188 -1.72433822 1.33326970 -98.797302 76.390727
    Unten links KachelX 29564 KachelY + 1 21189 -1.72438615 1.33325842 -98.800049 76.390080
    Unten rechts KachelX + 1 29565 KachelY + 1 21189 -1.72433822 1.33325842 -98.797302 76.390080
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33326970-1.33325842) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dl = 71.8648800003689m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33326970-1.33325842) × R
    1.12800000000579e-05 × 6371000     		dr = 71.8648800003689m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.72438615--1.72433822) × cos(1.33326970) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235299420475142 × 6371000     		do = 71.851508694157m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.72438615--1.72433822) × cos(1.33325842) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.235310383750828 × 6371000     		du = 71.8548564622758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33326970)-sin(1.33325842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.235299420475142-0.235310383750828)×R²
    abs(-1.72433822--1.72438615)×1.09632756856715e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.09632756856715e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.09632756856715e-05×40589641000000     		ar = 5163.7203435272m²