Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29564 / 17721
↖ ↑ ↗
← N 63.408739°
W 17.600097°		 ← 273.40 m → N 63.408739°
W 17.594605°		 →
↑
273.44 m
↓
↑
273.44 m
↓
N 63.406280°
W 17.600097°		 ← 273.43 m →
74 763 m²		 N 63.406280°
W 17.594605°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29564 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451118469238281 y=0.270408630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451118469238281 × 216)
    floor (0.451118469238281 × 65536)
    floor (29564.5)     		tx = 29564
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.270408630371094 × 216)
    floor (0.270408630371094 × 65536)
    floor (17721.5)     		ty = 17721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29564 / 17721 ti = "16/29564/17721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29564/17721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29564 ÷ 216
    29564 ÷ 65536     		x = 0.45111083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17721 ÷ 216
    17721 ÷ 65536     		y = 0.270401000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45111083984375 × 2 - 1) × π
    -0.0977783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30717965
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.270401000976562 × 2 - 1) × π
    0.459197998046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.44261305716597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30717965} λ = -0.30717965}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44261305716597))-π/2
    2×atan(4.23173915860427)-π/2
    2×1.33874379811892-π/2
    2.67748759623785-1.57079632675     		φ = 1.10669127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30717965} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.600097°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10669127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.408739°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29564 KachelY 17721 -0.30717965 1.10669127 -17.600097 63.408739
    Oben rechts KachelX + 1 29565 KachelY 17721 -0.30708378 1.10669127 -17.594605 63.408739
    Unten links KachelX 29564 KachelY + 1 17722 -0.30717965 1.10664835 -17.600097 63.406280
    Unten rechts KachelX + 1 29565 KachelY + 1 17722 -0.30708378 1.10664835 -17.594605 63.406280
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10669127-1.10664835) × R
    4.29200000000574e-05 × 6371000     		dl = 273.443320000365m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10669127-1.10664835) × R
    4.29200000000574e-05 × 6371000     		dr = 273.443320000365m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30717965--0.30708378) × cos(1.10669127) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.447622702439567 × 6371000     		do = 273.402472224589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30717965--0.30708378) × cos(1.10664835) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.447661082057848 × 6371000     		du = 273.425914026053m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10669127)-sin(1.10664835))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.447622702439567-0.447661082057848)×R²
    abs(-0.30708378--0.30717965)×3.83796182815699e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.83796182815699e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.83796182815699e-05×40589641000000     		ar = 74763.2847147851m²