Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29563 / 16773
↖ ↑ ↗
← N 65.646951°
W 17.605591°		 ← 251.89 m → N 65.646951°
W 17.600097°		 →
↑
251.85 m
↓
↑
251.85 m
↓
N 65.644686°
W 17.605591°		 ← 251.91 m →
63 440 m²		 N 65.644686°
W 17.600097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29563 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451103210449219 y=0.255943298339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451103210449219 × 216)
    floor (0.451103210449219 × 65536)
    floor (29563.5)     		tx = 29563
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.255943298339844 × 216)
    floor (0.255943298339844 × 65536)
    floor (16773.5)     		ty = 16773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29563 / 16773 ti = "16/29563/16773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29563/16773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29563 ÷ 216
    29563 ÷ 65536     		x = 0.451095581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16773 ÷ 216
    16773 ÷ 65536     		y = 0.255935668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451095581054688 × 2 - 1) × π
    -0.097808837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30727553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.255935668945312 × 2 - 1) × π
    0.488128662109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.5335014188456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30727553} λ = -0.30727553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.5335014188456))-π/2
    2×atan(4.63437533599886)-π/2
    2×1.35827588491513-π/2
    2.71655176983025-1.57079632675     		φ = 1.14575544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30727553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.605591°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.14575544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.646951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29563 KachelY 16773 -0.30727553 1.14575544 -17.605591 65.646951
    Oben rechts KachelX + 1 29564 KachelY 16773 -0.30717965 1.14575544 -17.600097 65.646951
    Unten links KachelX 29563 KachelY + 1 16774 -0.30727553 1.14571591 -17.605591 65.644686
    Unten rechts KachelX + 1 29564 KachelY + 1 16774 -0.30717965 1.14571591 -17.600097 65.644686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.14575544-1.14571591) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dl = 251.845630000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.14575544-1.14571591) × R
    3.95300000000098e-05 × 6371000     		dr = 251.845630000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30727553--0.30717965) × cos(1.14575544) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.412358030852587 × 6371000     		do = 251.889513436169m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30727553--0.30717965) × cos(1.14571591) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.412394043225066 × 6371000     		du = 251.911511647196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.14575544)-sin(1.14571591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412358030852587-0.412394043225066)×R²
    abs(-0.30717965--0.30727553)×3.60123724790218e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.60123724790218e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.60123724790218e-05×40589641000000     		ar = 63440.0432866672m²