Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29562 / 42847
↖ ↑ ↗
← S 48.337995°
W 17.611084°		 ← 406.01 m → S 48.337995°
W 17.605591°		 →
↑
406.02 m
↓
↑
406.02 m
↓
S 48.341646°
W 17.611084°		 ← 405.98 m →
164 845 m²		 S 48.341646°
W 17.605591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451087951660156 y=0.653800964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451087951660156 × 216)
    floor (0.451087951660156 × 65536)
    floor (29562.5)     		tx = 29562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653800964355469 × 216)
    floor (0.653800964355469 × 65536)
    floor (42847.5)     		ty = 42847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29562 / 42847 ti = "16/29562/42847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29562/42847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29562 ÷ 216
    29562 ÷ 65536     		x = 0.451080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42847 ÷ 216
    42847 ÷ 65536     		y = 0.653793334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.09783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30737140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653793334960938 × 2 - 1) × π
    -0.307586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.966312022541092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30737140} λ = -0.30737140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.966312022541092))-π/2
    2×atan(0.380483668962979)-π/2
    2×0.363569581833563-π/2
    0.727139163667126-1.57079632675     		φ = -0.84365716
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30737140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.611084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84365716 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.337995°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29562 KachelY 42847 -0.30737140 -0.84365716 -17.611084 -48.337995
    Oben rechts KachelX + 1 29563 KachelY 42847 -0.30727553 -0.84365716 -17.605591 -48.337995
    Unten links KachelX 29562 KachelY + 1 42848 -0.30737140 -0.84372089 -17.611084 -48.341646
    Unten rechts KachelX + 1 29563 KachelY + 1 42848 -0.30727553 -0.84372089 -17.605591 -48.341646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84365716--0.84372089) × R
    6.37299999999286e-05 × 6371000     		dl = 406.023829999545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84365716--0.84372089) × R
    6.37299999999286e-05 × 6371000     		dr = 406.023829999545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30737140--0.30727553) × cos(-0.84365716) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664735089286876 × 6371000     		do = 406.012062826273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30737140--0.30727553) × cos(-0.84372089) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.664687476582563 × 6371000     		du = 405.982981568782m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84365716)-sin(-0.84372089))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.664735089286876-0.664687476582563)×R²
    abs(-0.30727553--0.30737140)×4.76127043130825e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76127043130825e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76127043130825e-05×40589641000000     		ar = 164844.668988618m²