Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29562 / 19830
↖ ↑ ↗
← N 57.733485°
W 17.611084°		 ← 326.07 m → N 57.733485°
W 17.605591°		 →
↑
326.13 m
↓
↑
326.13 m
↓
N 57.730552°
W 17.611084°		 ← 326.10 m →
106 347 m²		 N 57.730552°
W 17.605591°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29562 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451087951660156 y=0.302589416503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451087951660156 × 216)
    floor (0.451087951660156 × 65536)
    floor (29562.5)     		tx = 29562
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302589416503906 × 216)
    floor (0.302589416503906 × 65536)
    floor (19830.5)     		ty = 19830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29562 / 19830 ti = "16/29562/19830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29562/19830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29562 ÷ 216
    29562 ÷ 65536     		x = 0.451080322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19830 ÷ 216
    19830 ÷ 65536     		y = 0.302581787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451080322265625 × 2 - 1) × π
    -0.09783935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30737140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302581787109375 × 2 - 1) × π
    0.39483642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.24041521456857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30737140} λ = -0.30737140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24041521456857))-π/2
    2×atan(3.45704858373714)-π/2
    2×1.28921786288827-π/2
    2.57843572577654-1.57079632675     		φ = 1.00763940
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30737140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.611084°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00763940 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.733485°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29562 KachelY 19830 -0.30737140 1.00763940 -17.611084 57.733485
    Oben rechts KachelX + 1 29563 KachelY 19830 -0.30727553 1.00763940 -17.605591 57.733485
    Unten links KachelX 29562 KachelY + 1 19831 -0.30737140 1.00758821 -17.611084 57.730552
    Unten rechts KachelX + 1 29563 KachelY + 1 19831 -0.30727553 1.00758821 -17.605591 57.730552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00763940-1.00758821) × R
    5.11899999999788e-05 × 6371000     		dl = 326.131489999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00763940-1.00758821) × R
    5.11899999999788e-05 × 6371000     		dr = 326.131489999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30737140--0.30727553) × cos(1.00763940) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533858268891924 × 6371000     		do = 326.074101552552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30737140--0.30727553) × cos(1.00758821) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533901553124267 × 6371000     		du = 326.1005390323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00763940)-sin(1.00758821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533858268891924-0.533901553124267)×R²
    abs(-0.30727553--0.30737140)×4.32842323424554e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.32842323424554e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.32842323424554e-05×40589641000000     		ar = 106347.343659903m²