Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29561 / 42823
↖ ↑ ↗
← S 48.250283°
W 17.616577°		 ← 406.71 m → S 48.250283°
W 17.611084°		 →
↑
406.72 m
↓
↑
406.72 m
↓
S 48.253941°
W 17.616577°		 ← 406.68 m →
165 413 m²		 S 48.253941°
W 17.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42823 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451072692871094 y=0.653434753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451072692871094 × 216)
    floor (0.451072692871094 × 65536)
    floor (29561.5)     		tx = 29561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653434753417969 × 216)
    floor (0.653434753417969 × 65536)
    floor (42823.5)     		ty = 42823
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29561 / 42823 ti = "16/29561/42823"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29561/42823.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29561 ÷ 216
    29561 ÷ 65536     		x = 0.451065063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42823 ÷ 216
    42823 ÷ 65536     		y = 0.653427124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451065063476562 × 2 - 1) × π
    -0.097869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30746727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.306854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.964011051359329
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30746727} λ = -0.30746727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.964011051359329))-π/2
    2×atan(0.381360158922751)-π/2
    2×0.364335007371951-π/2
    0.728670014743901-1.57079632675     		φ = -0.84212631
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30746727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.616577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84212631 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.250283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29561 KachelY 42823 -0.30746727 -0.84212631 -17.616577 -48.250283
    Oben rechts KachelX + 1 29562 KachelY 42823 -0.30737140 -0.84212631 -17.611084 -48.250283
    Unten links KachelX 29561 KachelY + 1 42824 -0.30746727 -0.84219015 -17.616577 -48.253941
    Unten rechts KachelX + 1 29562 KachelY + 1 42824 -0.30737140 -0.84219015 -17.611084 -48.253941
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84212631--0.84219015) × R
    6.38399999999262e-05 × 6371000     		dl = 406.72463999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84212631--0.84219015) × R
    6.38399999999262e-05 × 6371000     		dr = 406.72463999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30746727--0.30737140) × cos(-0.84212631) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665877976058017 × 6371000     		do = 406.710124088581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30746727--0.30737140) × cos(-0.84219015) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665830346188068 × 6371000     		du = 406.681032346529m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84212631)-sin(-0.84219015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665877976058017-0.665830346188068)×R²
    abs(-0.30737140--0.30746727)×4.76298699492173e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76298699492173e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76298699492173e-05×40589641000000     		ar = 165413.11269597m²