Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29561 / 19832
↖ ↑ ↗
← N 57.727619°
W 17.616577°		 ← 326.13 m → N 57.727619°
W 17.611084°		 →
↑
326.13 m
↓
↑
326.13 m
↓
N 57.724686°
W 17.616577°		 ← 326.15 m →
106 365 m²		 N 57.724686°
W 17.611084°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29561 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451072692871094 y=0.302619934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451072692871094 × 216)
    floor (0.451072692871094 × 65536)
    floor (29561.5)     		tx = 29561
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302619934082031 × 216)
    floor (0.302619934082031 × 65536)
    floor (19832.5)     		ty = 19832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29561 / 19832 ti = "16/29561/19832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29561/19832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29561 ÷ 216
    29561 ÷ 65536     		x = 0.451065063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19832 ÷ 216
    19832 ÷ 65536     		y = 0.3026123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451065063476562 × 2 - 1) × π
    -0.097869873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.30746727
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3026123046875 × 2 - 1) × π
    0.394775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24022346697009
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30746727} λ = -0.30746727}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24022346697009))-π/2
    2×atan(3.45638576652221)-π/2
    2×1.28916667571823-π/2
    2.57833335143647-1.57079632675     		φ = 1.00753702
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30746727} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.616577°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00753702 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.727619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29561 KachelY 19832 -0.30746727 1.00753702 -17.616577 57.727619
    Oben rechts KachelX + 1 29562 KachelY 19832 -0.30737140 1.00753702 -17.611084 57.727619
    Unten links KachelX 29561 KachelY + 1 19833 -0.30746727 1.00748583 -17.616577 57.724686
    Unten rechts KachelX + 1 29562 KachelY + 1 19833 -0.30737140 1.00748583 -17.611084 57.724686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00753702-1.00748583) × R
    5.11899999999788e-05 × 6371000     		dl = 326.131489999865m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00753702-1.00748583) × R
    5.11899999999788e-05 × 6371000     		dr = 326.131489999865m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30746727--0.30737140) × cos(1.00753702) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533944835957565 × 6371000     		do = 326.12697565753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30746727--0.30737140) × cos(1.00748583) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.533988117391706 × 6371000     		du = 326.153411428171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00753702)-sin(1.00748583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533944835957565-0.533988117391706)×R²
    abs(-0.30737140--0.30746727)×4.3281434140674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.3281434140674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.3281434140674e-05×40589641000000     		ar = 106364.587292163m²