Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29560 / 42825
↖ ↑ ↗
← S 48.257598°
W 17.622070°		 ← 406.69 m → S 48.257598°
W 17.616577°		 →
↑
406.66 m
↓
↑
406.66 m
↓
S 48.261256°
W 17.622070°		 ← 406.67 m →
165 381 m²		 S 48.261256°
W 17.616577°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42825 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451057434082031 y=0.653465270996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451057434082031 × 216)
    floor (0.451057434082031 × 65536)
    floor (29560.5)     		tx = 29560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653465270996094 × 216)
    floor (0.653465270996094 × 65536)
    floor (42825.5)     		ty = 42825
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29560 / 42825 ti = "16/29560/42825"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29560/42825.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29560 ÷ 216
    29560 ÷ 65536     		x = 0.4510498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42825 ÷ 216
    42825 ÷ 65536     		y = 0.653457641601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4510498046875 × 2 - 1) × π
    -0.097900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30756315
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653457641601562 × 2 - 1) × π
    -0.306915283203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.964202798957809
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30756315} λ = -0.30756315}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.964202798957809))-π/2
    2×atan(0.381287041038435)-π/2
    2×0.364271171687003-π/2
    0.728542343374005-1.57079632675     		φ = -0.84225398
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30756315} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.622070°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84225398 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.257598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29560 KachelY 42825 -0.30756315 -0.84225398 -17.622070 -48.257598
    Oben rechts KachelX + 1 29561 KachelY 42825 -0.30746727 -0.84225398 -17.616577 -48.257598
    Unten links KachelX 29560 KachelY + 1 42826 -0.30756315 -0.84231781 -17.622070 -48.261256
    Unten rechts KachelX + 1 29561 KachelY + 1 42826 -0.30746727 -0.84231781 -17.616577 -48.261256
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84225398--0.84231781) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dl = 406.660929999917m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84225398--0.84231781) × R
    6.3829999999987e-05 × 6371000     		dr = 406.660929999917m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30756315--0.30746727) × cos(-0.84225398) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665782721065953 × 6371000     		do = 406.694360521533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30756315--0.30746727) × cos(-0.84231781) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.665735093231261 × 6371000     		du = 406.665266988223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84225398)-sin(-0.84231781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665782721065953-0.665735093231261)×R²
    abs(-0.30746727--0.30756315)×4.76278346922543e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76278346922543e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76278346922543e-05×40589641000000     		ar = 165380.791329912m²