Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 2956 / 3444
↖ ↑ ↗
← N 27.527758°
W 50.097656°		 ← 4 333.28 m → N 27.527758°
W 50.053711°		 →
↑
4 334.06 m
↓
↑
4 334.06 m
↓
N 27.488781°
W 50.097656°		 ← 4 334.81 m →
18 784 035 m²		 N 27.488781°
W 50.053711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2956 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3444 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.36090087890625 y=0.42047119140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.36090087890625 × 213)
    floor (0.36090087890625 × 8192)
    floor (2956.5)     		tx = 2956
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.42047119140625 × 213)
    floor (0.42047119140625 × 8192)
    floor (3444.5)     		ty = 3444
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 2956 / 3444 ti = "13/2956/3444"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/2956/3444.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2956 ÷ 213
    2956 ÷ 8192     		x = 0.36083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3444 ÷ 213
    3444 ÷ 8192     		y = 0.42041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36083984375 × 2 - 1) × π
    -0.2783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.87436905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    0.1591796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.500077736836426
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87436905} λ = -0.87436905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.500077736836426))-π/2
    2×atan(1.64884944205761)-π/2
    2×1.02562317159243-π/2
    2.05124634318485-1.57079632675     		φ = 0.48045002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87436905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.097656°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48045002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.527758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2956 KachelY 3444 -0.87436905 0.48045002 -50.097656 27.527758
    Oben rechts KachelX + 1 2957 KachelY 3444 -0.87360206 0.48045002 -50.053711 27.527758
    Unten links KachelX 2956 KachelY + 1 3445 -0.87436905 0.47976974 -50.097656 27.488781
    Unten rechts KachelX + 1 2957 KachelY + 1 3445 -0.87360206 0.47976974 -50.053711 27.488781
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48045002-0.47976974) × R
    0.000680279999999978 × 6371000     		dl = 4334.06387999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48045002-0.47976974) × R
    0.000680279999999978 × 6371000     		dr = 4334.06387999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87436905--0.87360206) × cos(0.48045002) × R
    0.000766990000000023 × 0.886787023105504 × 6371000     		do = 4333.27883806425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87436905--0.87360206) × cos(0.47976974) × R
    0.000766990000000023 × 0.887101228537217 × 6371000     		du = 4334.814200798m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48045002)-sin(0.47976974))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886787023105504-0.887101228537217)×R²
    abs(-0.87360206--0.87436905)×0.000314205431713233×R²
    0.000766990000000023×0.000314205431713233×6371000²
    0.000766990000000023×0.000314205431713233×40589641000000     		ar = 18784035.1985131m²