Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 29559 / 42826
↖ ↑ ↗
← S 48.261256°
W 17.627563°		 ← 406.62 m → S 48.261256°
W 17.622070°		 →
↑
406.66 m
↓
↑
406.66 m
↓
S 48.264913°
W 17.627563°		 ← 406.59 m →
165 352 m²		 S 48.264913°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42826 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451042175292969 y=0.653480529785156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.653480529785156 × 216)
    floor (0.653480529785156 × 65536)
    floor (42826.5)     		ty = 42826
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29559 / 42826 ti = "16/29559/42826"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29559/42826.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42826 ÷ 216
    42826 ÷ 65536     		y = 0.653472900390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.653472900390625 × 2 - 1) × π
    -0.30694580078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.96429867275705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.96429867275705))-π/2
    2×atan(0.381250487353508)-π/2
    2×0.364239257269204-π/2
    0.728478514538407-1.57079632675     		φ = -0.84231781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84231781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.261256°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 42826 -0.30765902 -0.84231781 -17.627563 -48.261256
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 42826 -0.30756315 -0.84231781 -17.622070 -48.261256
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 42827 -0.30765902 -0.84238164 -17.627563 -48.264913
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 42827 -0.30756315 -0.84238164 -17.622070 -48.264913
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84231781--0.84238164) × R
    6.3830000000098e-05 × 6371000     		dl = 406.660930000624m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84231781--0.84238164) × R
    6.3830000000098e-05 × 6371000     		dr = 406.660930000624m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.84231781) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665735093231261 × 6371000     		do = 406.622853005455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.84238164) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.665687462684185 × 6371000     		du = 406.593760849823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84231781)-sin(-0.84238164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.665735093231261-0.665687462684185)×R²
    abs(-0.30756315--0.30765902)×4.76305470760163e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76305470760163e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76305470760163e-05×40589641000000     		ar = 165351.712297149m²