Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29559 / 41277
↖ ↑ ↗
← S 42.281373°
W 17.627563°		 ← 451.89 m → S 42.281373°
W 17.622070°		 →
↑
451.90 m
↓
↑
451.90 m
↓
S 42.285437°
W 17.627563°		 ← 451.86 m →
204 201 m²		 S 42.285437°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41277 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451042175292969 y=0.629844665527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629844665527344 × 216)
    floor (0.629844665527344 × 65536)
    floor (41277.5)     		ty = 41277
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29559 / 41277 ti = "16/29559/41277"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29559/41277.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41277 ÷ 216
    41277 ÷ 65536     		y = 0.629837036132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629837036132812 × 2 - 1) × π
    -0.259674072265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.815790157734116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.815790157734116))-π/2
    2×atan(0.44228971061779)-π/2
    2×0.416423577657743-π/2
    0.832847155315486-1.57079632675     		φ = -0.73794917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73794917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.281373°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 41277 -0.30765902 -0.73794917 -17.627563 -42.281373
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 41277 -0.30756315 -0.73794917 -17.622070 -42.281373
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 41278 -0.30765902 -0.73802010 -17.627563 -42.285437
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 41278 -0.30756315 -0.73802010 -17.622070 -42.285437
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73794917--0.73802010) × R
    7.09299999999136e-05 × 6371000     		dl = 451.895029999449m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73794917--0.73802010) × R
    7.09299999999136e-05 × 6371000     		dr = 451.895029999449m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.73794917) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739849854674763 × 6371000     		do = 451.891242871613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.73802010) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.739802133094222 × 6371000     		du = 451.862095113853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73794917)-sin(-0.73802010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.739849854674763-0.739802133094222)×R²
    abs(-0.30756315--0.30765902)×4.77215805414488e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77215805414488e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77215805414488e-05×40589641000000     		ar = 204200.820976437m²