Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29559 / 40908
↖ ↑ ↗
← S 40.763901°
W 17.627563°		 ← 462.61 m → S 40.763901°
W 17.622070°		 →
↑
462.66 m
↓
↑
462.66 m
↓
S 40.768062°
W 17.627563°		 ← 462.59 m →
214 028 m²		 S 40.768062°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451042175292969 y=0.624214172363281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624214172363281 × 216)
    floor (0.624214172363281 × 65536)
    floor (40908.5)     		ty = 40908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29559 / 40908 ti = "16/29559/40908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29559/40908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40908 ÷ 216
    40908 ÷ 65536     		y = 0.62420654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62420654296875 × 2 - 1) × π
    -0.2484130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.780412725814514
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.780412725814514))-π/2
    2×atan(0.458216854348494)-π/2
    2×0.429666016750676-π/2
    0.859332033501352-1.57079632675     		φ = -0.71146429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71146429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.763901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 40908 -0.30765902 -0.71146429 -17.627563 -40.763901
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 40908 -0.30756315 -0.71146429 -17.622070 -40.763901
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 40909 -0.30765902 -0.71153691 -17.627563 -40.768062
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 40909 -0.30756315 -0.71153691 -17.622070 -40.768062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71146429--0.71153691) × R
    7.26199999999677e-05 × 6371000     		dl = 462.662019999794m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71146429--0.71153691) × R
    7.26199999999677e-05 × 6371000     		dr = 462.662019999794m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.71146429) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757406589640183 × 6371000     		do = 462.614681869622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.71153691) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757359170883666 × 6371000     		du = 462.585719073073m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71146429)-sin(-0.71153691))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757406589640183-0.757359170883666)×R²
    abs(-0.30756315--0.30765902)×4.74187565168149e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74187565168149e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74187565168149e-05×40589641000000     		ar = 214027.543296316m²