Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29559 / 40846
↖ ↑ ↗
← S 40.505446°
W 17.627563°		 ← 464.41 m → S 40.505446°
W 17.622070°		 →
↑
464.45 m
↓
↑
464.45 m
↓
S 40.509623°
W 17.627563°		 ← 464.38 m →
215 686 m²		 S 40.509623°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451042175292969 y=0.623268127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623268127441406 × 216)
    floor (0.623268127441406 × 65536)
    floor (40846.5)     		ty = 40846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29559 / 40846 ti = "16/29559/40846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29559/40846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40846 ÷ 216
    40846 ÷ 65536     		y = 0.623260498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623260498046875 × 2 - 1) × π
    -0.24652099609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.774468550261627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.774468550261627))-π/2
    2×atan(0.460948686974689)-π/2
    2×0.431921462082658-π/2
    0.863842924165316-1.57079632675     		φ = -0.70695340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70695340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.505446°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 40846 -0.30765902 -0.70695340 -17.627563 -40.505446
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 40846 -0.30756315 -0.70695340 -17.622070 -40.505446
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 40847 -0.30765902 -0.70702630 -17.627563 -40.509623
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 40847 -0.30756315 -0.70702630 -17.622070 -40.509623
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70695340--0.70702630) × R
    7.29000000000424e-05 × 6371000     		dl = 464.44590000027m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70695340--0.70702630) × R
    7.29000000000424e-05 × 6371000     		dr = 464.44590000027m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.70695340) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.760344230217104 × 6371000     		do = 464.408956806661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(-0.70702630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76029687816512 × 6371000     		du = 464.380034752425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70695340)-sin(-0.70702630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760344230217104-0.76029687816512)×R²
    abs(-0.30756315--0.30765902)×4.73520519842507e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73520519842507e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73520519842507e-05×40589641000000     		ar = 215686.119643058m²