Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29559 / 22652
↖ ↑ ↗
← N 48.472921°
W 17.627563°		 ← 404.94 m → N 48.472921°
W 17.622070°		 →
↑
404.94 m
↓
↑
404.94 m
↓
N 48.469279°
W 17.627563°		 ← 404.97 m →
163 981 m²		 N 48.469279°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451042175292969 y=0.345649719238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345649719238281 × 216)
    floor (0.345649719238281 × 65536)
    floor (22652.5)     		ty = 22652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29559 / 22652 ti = "16/29559/22652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29559/22652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22652 ÷ 216
    22652 ÷ 65536     		y = 0.34564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34564208984375 × 2 - 1) × π
    0.3087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.969859353112976
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.969859353112976))-π/2
    2×atan(2.63757346676789)-π/2
    2×1.20840420052072-π/2
    2.41680840104143-1.57079632675     		φ = 0.84601207
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84601207 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.472921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 22652 -0.30765902 0.84601207 -17.627563 48.472921
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 22652 -0.30756315 0.84601207 -17.622070 48.472921
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 22653 -0.30765902 0.84594851 -17.627563 48.469279
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 22653 -0.30756315 0.84594851 -17.622070 48.469279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84601207-0.84594851) × R
    6.35599999999625e-05 × 6371000     		dl = 404.940759999761m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84601207-0.84594851) × R
    6.35599999999625e-05 × 6371000     		dr = 404.940759999761m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(0.84601207) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662973943567427 × 6371000     		do = 404.936376559645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(0.84594851) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.663021525943718 × 6371000     		du = 404.965439293152m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84601207)-sin(0.84594851))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662973943567427-0.663021525943718)×R²
    abs(-0.30756315--0.30765902)×4.7582376291766e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7582376291766e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7582376291766e-05×40589641000000     		ar = 163981.12847344m²