Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 29559 / 22649
↖ ↑ ↗
← N 48.483846°
W 17.627563°		 ← 404.85 m → N 48.483846°
W 17.622070°		 →
↑
404.88 m
↓
↑
404.88 m
↓
N 48.480204°
W 17.627563°		 ← 404.88 m →
163 920 m²		 N 48.480204°
W 17.622070°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 29559 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 22649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451042175292969 y=0.345603942871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451042175292969 × 216)
    floor (0.451042175292969 × 65536)
    floor (29559.5)     		tx = 29559
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.345603942871094 × 216)
    floor (0.345603942871094 × 65536)
    floor (22649.5)     		ty = 22649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 29559 / 22649 ti = "16/29559/22649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/29559/22649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 29559 ÷ 216
    29559 ÷ 65536     		x = 0.451034545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 22649 ÷ 216
    22649 ÷ 65536     		y = 0.345596313476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.451034545898438 × 2 - 1) × π
    -0.097930908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30765902
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.345596313476562 × 2 - 1) × π
    0.308807373046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.970146974510696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30765902} λ = -0.30765902}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.970146974510696))-π/2
    2×atan(2.63833219844349)-π/2
    2×1.2084995330017-π/2
    2.4169990660034-1.57079632675     		φ = 0.84620274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30765902} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.627563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.84620274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 48.483846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 29559 KachelY 22649 -0.30765902 0.84620274 -17.627563 48.483846
    Oben rechts KachelX + 1 29560 KachelY 22649 -0.30756315 0.84620274 -17.622070 48.483846
    Unten links KachelX 29559 KachelY + 1 22650 -0.30765902 0.84613919 -17.627563 48.480204
    Unten rechts KachelX + 1 29560 KachelY + 1 22650 -0.30756315 0.84613919 -17.622070 48.480204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.84620274-0.84613919) × R
    6.35499999999123e-05 × 6371000     		dl = 404.877049999441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.84620274-0.84613919) × R
    6.35499999999123e-05 × 6371000     		dr = 404.877049999441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(0.84620274) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662831187857023 × 6371000     		do = 404.849183117634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30765902--0.30756315) × cos(0.84613919) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.662878770780042 × 6371000     		du = 404.878246185074m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.84620274)-sin(0.84613919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.662831187857023-0.662878770780042)×R²
    abs(-0.30756315--0.30765902)×4.7582923018985e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7582923018985e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7582923018985e-05×40589641000000     		ar = 163920.026494967m²